Dejemos que $G$ sea un grupo y $a,b \in G$ demostrar que $|b| = 5$

Question

Demuestre que si $|a|=2$ , $ab^2a^{-1}=b^3$ y $b\ne e$ entonces $|b|=5$ .

Mi intento

$$a^2 = e \implies a * a = e \implies a = a^{-1}$$ $$ab^2a=b^3$$ $$(ab^2a)^2=(b^3)^2$$ I) $$ab^2aab^2a = b^5$$ $$ab^2a=b^3$$ $$ab^2ab^2=b^3b^2$$

II) $$ab^2ab^2 = b^5$$

I y II $\implies$$ b^4 = b^5 \N-implica b = e \N-implica b^5 = e$

Por supuesto que está mal, he estado tratando de resolver este problema durante más de 2 horas, pero no puedo encontrar una manera de mostrar $b^5=e$ a través de las propiedades dadas.

Answer 1

$$ab^2a^{-1}=ab^2a=b^3$$ $$ab^2a^{-1}ab^2a=ab^4a=b^6=a((ab^2a)b)a=b^2aba$$ $$b^6=b^2aba\implies b^4=aba$$ $$ab^4a=a(aba)a=b^6\implies b=b^6$$ $$b^5=e$$

Answer 2

A partir de los datos $$b^{-2}ab^2=ba,$$ que da $$(ba)^2=e$$ o $$ab=b^{-1}a.$$

En otra mano, $$ab=b^3ab^{-1}.$$ Así, $$e=baba=b(b^3ab^{-1})a=b^4ab^{-1}a=b^4a(ab)=b^5$$ ¡y hemos terminado!

Answer 3

Uno tiene

$ab^2 = b^3a$ entonces $(ab^2)^2 = b^3ab^3a = b^3a(ab^3a)ba = b^6aba$

$b^5 = b^3b^2 = ab^2a^{-1}b^2=ab^2ab^2=(ab^2)^2 = b^6aba$ .

Así que, $baba = e$ entonces $b^{-1} = aba$ o $b^{-2} = ab^2a = b^3$ entonces $b^5=e$ .