3-variedades fibering sobre el círculo y la asignación de tori

Question

Si $S$ es un circuito cerrado conectado superficie y $\varphi \in \mathrm{Diff}(M)$, entonces podemos construir la asignación de torus $M_\varphi = \dfrac{S \times [0,1]}{(x,0)\sim (\varphi(x),1)}$. Entonces tenemos que $ M_\varphi \to S^1$ es un fibration (es en realidad un haz de fibras con fibra de $S$).

Ahora vamos a $M$ ser un cerrado conectado a $3$-colector y $f:M \to S^1$ ser un fibration (en el homotopy teórico sentido). Bajo la hipótesis de que puedo decir que

1. $M$ es un haz de fibras con una superficie de fibra de $S$?

2. $M$ es una asignación de toro para algunos $\varphi \in \mathrm{Diff}(S)$?

Algunos de mis pensamientos: $f$ es un fibration, así que sabemos que las fibras en cualquier punto se homotopy equivalente. Pero $M$ es un cerrado $3$-colector, por lo que la fibra de más de un genérico será un punto de una superficie cerrada. Desde hace dos homotopy equivalente cerrado superficies son en realidad diffeomorphic, las fibras son "genéricamente" de la misma. Mi problema es que, en general, $f$ puede tener algunos valores críticos donde $f^{-1}(p)$ falla al ser una superficie (todavía es un subespacio con el mismo homotopy tipo de los genéricos de la superficie de las fibras).

Si $f$ pasa a ser una inmersión entonces no se producirá este problema y todas las fibras se diffeomorphic. En este caso, es claro que todas estas superficies pueden estar "juntos" en la estructura de un haz de fibras (por favor corríjanme si estoy equivocado). Así que aquí la pregunta es: ¿es esta una asignación de toro para algunos $\varphi \in \mathrm{Diff}(S)$? Mi conjetura es que esto es cierto, porque cada fibra no es la separación en la $M$ $S^1 \setminus {p}$ es sólo un intervalo abierto $I$ cuyo preimagen en $M$ es de la forma $S \times I$, pero no veo ninguna manera obvia para recuperar el encolado $\varphi$.

Answer 1

La respuesta es "siempre", siempre que el tratamiento de su mapa de $f$ hasta homotopy y asumir homotopy la finitud de la fibra. Hay varios casos a tener en cuenta, voy a tratar con el caso al $M$ ha contráctiles la universalización de la cobertura (si usted está interesado en el caso cuando no es el caso, voy a escribir los detalles, el problema se resuelve apelando a Kneser del teorema). Deje $F$ ser un homotopy fibra de su fibration. Uno tiene que asumir que es una finito de células complejas, de lo contrario, uno puede encontrar fácilmente un contador de ejemplo, tomando un esférico de 3-colector de cuyo grupo fundamental de mapas en $Z$ con el infinitamente generado en el núcleo. (En primer lugar, encontrar una de 2 dimensiones ejemplo de esta situación y luego se multiplica por el círculo).

Ahora, por el largo de la secuencia exacta de fibration de obtener que el finitely generado grupo $N =\pi_1(F)$ es normal en $G=\pi_1(M)$ y el cociente es el infinito cíclico grupo $Z$. Desde Perelman demostró la conjetura de Poincaré para nuestro beneficio, el colector $M$ también es irreductible y, por lo tanto, se puede aplicar un teorema que se puede encontrar en algún lugar en Hempel del libro "las 3-variedades", que establece que en este caso $N$ es una superficie de grupo y $M$, de hecho es un haz de fibras sobre el círculo, de modo que el mapa de proyección del haz es homotópica a $f$.

Para la segunda parte. Supongamos que usted tiene un haz de fibras $f: M\to S^1$. Tome $S$ a ser la preimagen de un punto. Entonces, por local, la trivialidad de $f$, el complemento de un abrir bicolor de $S$ es el producto de $S$ y la unidad de intervalo. El colector $M$ es obtenido mediante la identificación de sus límites de las superficies por un homeomorphism $h$, que podemos considerar como un automorphism de $S$. Ahora bien, es claro que $M$ es la asignación de toro de $h$. QED