Cuántos Homomorphisms puede ser de entre el $Z_6$$Z_{18}$?

Question

Cuántos Homomorphisms puede ser de entre el $Z_6$$Z_{18}$? y lo más importante: ¿Cuál es el algoritmo para el cálculo de, paso por paso?

Answer 1

Digamos que tenemos un homomorphism, $\varphi:Z_n \rightarrow Z_m$. Dado que el $x \in Z_n$ está determinado por $1_{Z_n}$, en el sentido de $$ x=\underbrace{1_{Z_m}+1_{Z_m}+\cdots+1_{Z_m}}_{x \text{ momentos}} $$ las propiedades de la homomorphism de la fuerza de la imagen para ser totalmente determinado por la imagen de $1_{Z_n}$ bajo $\varphi$. Por qué? Observar, deje $x \in Z_{n}$ $$ \varphi(x)=\varphi(\underbrace{1_{Z_m}+1_{Z_m}+\cdots+1_{Z_m}}_{x \text{ momentos}})=\underbrace{\varphi(1_{Z_n})+\varphi(1_{Z_n})+\cdots+\varphi(1_{Z_n})}_{x \text{ momentos}} $$ Todo lo que importa es $\varphi(1_{Z_n})$, por lo que si $1_{Z_n}$ mapas a $a \in Z_{m}$ $x\in Z_n$ se debe asignar a $xa$. Ahora dos hechos determinar todo el resto:

$1$. Si $|x|=n$, $|\varphi(x)|$ debe dividir $n$.

$2$. El Teorema de Lagrange: En cualquier grupo finito, el orden de un subgrupo debe dividir el orden del grupo. (Lo contrario no es cierto!)

Los dos juntos implica que $|a|$, la imagen de $\varphi(1_{Z_n})$, debe dividir no sólo $n$ (por medio del Teorema de Lagrange), sino también a $m$ (por la Propiedad $1$).

Ahora queremos un homomorphism $\varphi:Z_n\rightarrow Z_m$, $a$ son estos? Entonces, ¿cuántas homomorphisms son en total? Por último, para ver la imagen más grande, ¿qué es $\text{gcd}(6,18)$? Es esto una coincidencia? ¿Qué significa esto?

Answer 2

Debemos saber donde está el generador va,

$f$ ser un Homo tal que $f(1)=a,f(6)=f(0)=6f(1)=6a=0$ $Z_{18}$

por lo $a=3,6,9,12,15,0$

así que Incluso trivial homo, vemos que no se $6$ Homomorphism

Answer 3

Un generador de $\mathbb{Z}_6$ debe ir a un elemento $z\in\mathbb{Z}_{18}$ tal que $6z=0$. Estos elementos son ...

Ahora bien, dado $z\in\mathbb{Z}_{18}$ tal que $6z=0$, podemos definir un morfismos $f\colon \mathbb{Z}\to\mathbb{Z}_{18}$$f(n)=nz$. Desde $f(6n)=6nz=n(6z)=0$, el núcleo de $f$ contiene $6\mathbb{Z}$, por lo que ... (se aplican los homomorphism teorema).