Si el producto de dos no-cero de las matrices cuadradas es igual a cero, entonces ambos factores deben ser singular.

Question

En el libro de texto Contemporáneo de Álgebra Lineal por Anton y Busby, había una pequeña pregunta en la sección 3.2 de la página 101 con respecto a esto. Se le pregunta si $A$ $B$ es de dos dos-cero de las matrices cuadradas tales que $AB=0$, $A$ $B$ debe ser singular. ¿Por qué es esto así?

Puedo demostrar que si $A$ es no singular, a continuación,$B=I_nB=A^{-1}AB=0$, lo que implica la $B$ debe ser el cero de la matriz, la cual es una contradicción. Del mismo modo, si $B$ es no singular, entonces a $A$ debe ser la matriz cero. Por lo tanto, ambos deben ser singular. Pero esto en realidad no responder por qué, simplemente muestra una contradicción para cualquier caso y por lo tanto debe ser la negación de nuestra suposición de que al menos uno es no singular.

Me gustaría saber la esencia y los inherentes a la propiedad como a la razón por la que deben ser tanto singular (y porqué no puede ser el caso de que sólo uno es singular?) y ¿cuál es la motivación para tal conclusión?

Answer 1

Como Thomas señala, la prueba está bien, pero si quieres otra forma de ver esto, considere lo siguiente:

Supongamos $AB = 0$. ¿Cuál es el $j$-ésima columna a ambos lados de esta ecuación? A la izquierda, es una combinación lineal de las columnas de a$\{\mathbf a_j\}$$A$, con coeficientes de la $j$-ésima columna de a $B$, y la de la derecha es el vector 0:

$$b_{1j}\mathbf a_1 + b_{2j} \mathbf a_2 + \cdots + b_{nj}\mathbf a_n = \mathbf 0$$

Esto es cierto para cada una de las $j$, y debe haber al menos uno distinto de cero $b_{ij}$ coeficiente, ya que $B\neq 0$, por lo que las columnas de a $A$ son linealmente dependientes.

Del mismo modo, podemos preguntar, ¿cuáles son las filas en cada lado de la ecuación? El $i$-ésima fila es combinación lineal de las filas de $B$, con coeficientes de la $i$-ésima fila de a $A$. Así que usted puede ver que las filas de a $B$ debe ser linealmente dependiente.

Answer 2

El argumento que dio de sí funciona y demuestra que el reclamo.

Si no eres "filosóficamente" satisfecho con él, usted puede mirar en esta manera. Recordemos que las matrices pueden ser identificados a transformaciones lineales (una vez que las bases son fijos) y que el producto de matrices corresponden a la composición de transformaciones. También, no singular matrices corresponden a automorfismos.

Ahora usted puede traducir la solicitud en el siguiente. Supongamos que usted tiene transformaciones lineales $f$ $g$ de manera tal que la composición $$ V\stackrel{f}{\longrightarrow}V\stackrel{g}{\longrightarrow}V $$ es el $0$-mapa. Supongamos que, por ejemplo, $g$ es un automorphism. Entonces, si $f$ no es la $0$-mapa, el subespacio $W={\rm im}(f)$ no es trivial. Pero ahora, desde que $g$ es un automorphism, debemos tener $g(W)=g\circ f(V)\neq\{0\}$ contradiciendo la suposición.

Un simétrica argumento se refiere al caso cuando se $f$ es un automorphism. Por lo tanto llegamos a la conclusión de que ni $f$ ni $g$ puede ser automorfismos.

Answer 3

Tal vez sería útil pensar en términos de las transformaciones lineales $T_A$, $T_B$, y $T_{AB}$. Tal vez sabes que $T_{AB}=T_A\circ T_B$. Si $AB$ es cero, $T_{AB}$ es el cero de la transformación que manda a cada vector de a $\vec 0$. Eso significa que $T_A\circ T_B$ debe hacer lo mismo. Esto significa que $T_A$ a 'matar' a todo no-vector cero en el rango de $T_B$, si los hay.

Desde $T_B$ no es el cero de la transformación, debe haber al menos un vector que no matar, por lo $T_A$ tiene que enviar al menos uno distinto de cero vector de a $\vec 0$. Pero esto significa que no puede ser invertible: 'se derrumba' dos vectores juntos, y no hay manera de "colapso".

Por otro lado, $T_A$ no es el cero de la transformación, por lo que habrá al menos un vector de $v$ tal que $T_A(v)\ne\vec 0$. Si $T_B$ fueron invertible, que $v$ tendría que estar en el rango de $T_B$, es decir, no tendría que ser alguna $u$ tal que $v=T_B(u)$. Pero, a continuación, $T_A\circ T_B$ no matar a $u$, por lo que no sería el cero de la transformación después de todo. Por lo tanto, $T_B$ no puede ser invertible.

Answer 4

Estoy navegando alrededor buscando a viejas preguntas, pero pensé que me gustaría añadir a este. La pregunta ya tiene grandes respuestas, pero al igual que muchas de las preguntas en álgebra lineal hay muchos diferentes (y a menudo equivalente) maneras de demostrar algún hecho en particular. Por el bien de los futuros lectores, estos podría ser interesante o útil.

1. La cancelación de las

Voy a empezar por resumir el enfoque mencionado en la pregunta a esta:

Si $AB=0$, entonces:

$A^{-1}$ existe $\Rightarrow$ $B=0$ (sólo "cancelar" la $A$ izquierdo multiplicando $A^{-1}$)

$B^{-1}$ existe $\Rightarrow$ $A=0$ (sólo "cancelar" la $B$ igualmente)

Así que el hecho de que $A\ne 0$ $B\ne 0$ nos dice que ni los de la matriz es invertible (estamos usando la lógica contrapositives de las dos instrucciones anteriores). Todo esto se basa en la idea de "cancelar" no-singular de la matriz.

2. Matriz De Rango

Cada matriz tiene una cantidad llamada rango asociado a ella. La forma en que rango se introdujo en mi experiencia es a menudo como consecuencia de la fila-reducción -- el rango es el número de columnas dinámicas (el mismo que el número de distinto de cero filas) después de una matriz es poner en fila-forma escalonada.

En particular, el cero de la matriz tiene rango de cero, así que lo que tenemos nos dice $\mathrm{rank}(AB)=0$. Si $A$ es invertible $n\times n$ de la matriz, a continuación,$\mathrm{rank}(A)=n$.

Pero hay dos hechos sobre el rango que podemos emplear aquí:

1. No sólo es $\mathrm{rank}(0)=0$, pero la matriz cero es la única matriz con cero rango.

2. Si $A$ es invertible, entonces a $\mathrm{rank}(AB)=\mathrm{rank}(B)$.

Podemos hacer el mismo tipo de deducción como antes:

$A$ invertible $\Rightarrow$ $\mathrm{rank}(B)=\mathrm{rank}(AB)=0$ $\Rightarrow$ $B=0$

$B$ invertible $\Rightarrow$ $\mathrm{rank}(A)=\mathrm{rank}(AB)=0$ $\Rightarrow$ $A=0$

y así, como en el anterior, no conocemos ni la matriz podría ser invertible.

3. Conclusiones

Como he mencionado, estas respuestas (y las de otros usuarios) son todas equivalentes: Una transformación lineal tiene algo llamado rango equivalente; La independencia lineal de las filas o las columnas de una matriz pueden decirle a usted acerca de su rango... y así sucesivamente.

Para tratar de tomar una puñalada en el corazón de su pregunta, la pregunta de cuál es el esencial o inherente a la razón por la que ambas deben ser singular que yo en realidad iba a decir:

¿Qué es lo esencial o inherente a la razón por la que un ser no-singular obliga a los otros a ser cero?

Si una matriz cuadrada es no-singular, puede ser (de alguna manera u otra) se elimina de la ecuación, es decir, la otra permanece y es cero. Esto puede ser por cancelación, mediante el uso de rango, por la re-encuadrar la cuestión de transformaciones lineales, o por la ruptura de una matriz de producto en un conjunto de ecuaciones lineales -- métodos que son realmente el mismo.

Si usted piensa de matrices como la vida en tres categorías posibles, ya sea no singular, singular (pero no cero), o cero, es interesante que sabemos:

1. $AB$ no-singular implica $A$ $B$ son no-singular.

2. $AB$ ser singular implica uno de $A$ o $B$ es singular.

3. $AB$ cero implica tanto de $A$ $B$ están en singular, salvo que uno de ellos es cero.

El último argumento es el que acabamos de mencionar, los otros dos sigue inmediatamente del hecho de que $\det(AB)=\det(A)\det(B)$.

Estas tres reglas se aplican con frecuencia en otros contextos, con cero divisores, como la aritmética modular.

Answer 5

como AB es una matriz de su determinante tiene que ser 0 por lo tanto, |AB| = |A| |B| = 0 entonces |A| = 0, |B| = 0

véase, por ejemplo, 1 2 3 4 5 6 7 8 9

no es 0 de la matriz, pero su determinante es 0