Evaluar : $\int_0^1 \frac{dx}{\sqrt[3]{1-x^3}}$.

Question

Evaluar : $$ \int_0^1 \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt[3]{1-x^3}}.$$

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si usted siente que esta integral es muy fácil, sólo post de sugerencias.

Answer 1

Sugerencia: Hacer el cambio de variables $ t=x^3 $ y, a continuación, utilizar la función beta.

Añadido: Otra manera de ir es expandir el integrando en términos de poder, como la serie de $$ \int_0^1 \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt[3]{1-x^3}}.= \sum_{k=0}^{\infty}{-\frac{1}{3} \choose k}(-1)^k \int_{0}^{1} x^{3k} dx = \dots, $$

donde $ {n \choose k}=\frac {n!}{(n-k)!k!} .$ creo que se puede proceder ahora.

Answer 2

Sustituto $u = 1-x^3$ y recordar la definición de una función beta:

$$B(m,n) = \int_0^1 du\: u^{m-1} (1-u)^{n-1} = \frac{\Gamma(m) \Gamma(n)}{\Gamma(m+n)}$$

Answer 3

Usted no necesita ninguna beta o gamma-funciones de esta integral. Voy a tratar con la integral indefinida, usted debe tomar el cuidado de los límites.

El uso de la sustitución $$ 1-\frac{1}{x^3}=t^3. $$

Entonces, usted tiene $$ x=\frac{1}{\sqrt[3]{1-t^3}},\quad dx=\frac{t^2\,dt}{(1-t^3)^{4/3}},\quad \sqrt[3]{1-x^3}=-\frac{t}{\sqrt[3]{1-t^3}}. $$ Conectar todo, se consigue $$ -\int \frac{t}{1-t^3}dt, $$ que puede ser integrado con los métodos estándar (por ejemplo, fracciones parciales).

La gran pregunta es ¿cómo iba yo a saber acerca de esta sustitución? Usted puede encontrar una receta en este post.