Encontrar el límite de $6^n(2-x_n)$ donde $x_n=\sqrt[3]{6+\sqrt[3]{6+\dots+\sqrt[3]{6}}}$ $n$ raíces

Question

Deje $x_n=\sqrt[3]{6+\sqrt[3]{6+\dots+\sqrt[3]{6}}}$, donde la expresión en el lado derecho ha $n$ raíces.

Encontrar el siguiente límite: $\lim \limits_{n\to \infty}6^n(2-x_n)$

Mi enfoque: yo tenía dos enfoques. La primera de ellas fue la siguiente: me mostró que $x_n$ está aumentando con el límite superior, la cual es igual a 2, entonces por el teorema de Weierstrass sus convergente con límite de $2$. Pero no podemos deducir de que el límite de $6^n(2-x_n)$ es cero debido a que la última expresión es la incertidumbre.

El segundo es que $x_{n+1}^3=6+x_n$$x_{n+1}^3-8=x_n-2$. A partir de la última ecuación, se obtiene: $(x_{n+1}-2)(x_{n+1}^2+2x_{n+1}+4)=x_n-2$. Traté de trabajar con este, pero me he quedado.

Estaría muy agradecido por las sugerencias o soluciones.

Answer 1

Veamos la secuencia de $$a_n=6^n(8-x_n^3)=6^n(2-x_n)(4+2x_n+x_n^2)$$ Ahora $$\lim_{n\to\infty}6^n(2-x_n)(4+2x_n+x_n^2)=\lim_{n\to\infty}12\cdot 6^n(2-x_n)$$ so lets instead look at the $\lim a_n$ and whatever the limit is just multiply it by $12$. Tenemos que $$\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{6^{n+1}(8-x_{n+1}^2)}{6^n(8-x_n^2)}=\frac{6(2-x_n)}{(2-x_n)(x_n^2+2x_n+4)}=\frac{6}{x_n^2+2x_n+4}$$ Desde $$x_n^2+2x_n+4\geq6^{2/3}+2\cdot 6^{1/3}+4\geq 10$$, ya que es creciente.

A partir de esto podemos ver que cada una de las $a_n$ está disminuyendo por $\frac{6}{10}$ al menos así tenemos que $$a_0(\frac{6}{10})^n\geq a_n> 0 $$ by squeeze theorem we have that $a_n\a 0$ so the original limit tends to $0$.A side note I picked $a_n$ para hacer cálculos más fácil podría hacerse lo mismo con el límite original.

Answer 2

La recurrencia dice

$$x_n=\sqrt[3]{6+x_{n-1}}$$ or, in terms of $t_n=2-x_n$ with $t_n\le2$,

$$t_n=2-\sqrt[3]{8-t_{n-1}}=\frac{t_{n-1}}{4+2\sqrt[3]{8-t_{n-1}}+\left(\sqrt[3]{8-t_{n-1}}\right)^2}<\frac{t_{n-1}}{4+2\sqrt[3]6+\sqrt[3]{36}}.$$

Esto claramente decae más rápido que $6^{-n}$.

Answer 3

toma $f(x)= \sqrt[3]{x+6}$ luego ver que $x_{n+1} = f(x_n)$ y $$|f'(x) |= \frac{1}{3\sqrt[3]{(x+6)^2}} < \frac{1}{3\sqrt[3]{36}} <\frac{1}{3\sqrt[3]{2^3\times 3}}=\frac{1}{6\sqrt[3]{3}}$$ así que para cualquier $x,y $ uno tiene $$|f(x)-f(y)| = |\int_x^yf'(s)ds|\le \frac{1}{6\sqrt[3]{3}}|x-y|$$ mostrar, a continuación, por inducción el uso de esta desigualdad y el hecho de que $f(2)=2$ $$|x_n-2| \le \frac{1}{6^n\sqrt[3]{3^n}}|x_0-2|$$ por lo $$6^n( x_n-2)\le \frac{1}{\sqrt[3]{3^n}}|x_0-2| \to 0 $$