Una pregunta acerca de una partida de dos jugadores y el axioma de elección

Question

Supongamos que dos jugadores 1 y 2 jugar el siguiente:

El jugador 1 se inicia por jugar en el conjunto de los reales de a $\mathbb{R}$. El jugador 2 juega un incontable subconjunto $Y_1$$\mathbb{R}$. Entonces el jugador 1 juega un incontable subconjunto $X_1$$Y_1$. Luego el jugador 2 juega un incontable subconjunto $Y_2$ $X_1$ y así sucesivamente. El jugador 1 gana si la intersección de todos los conjuntos que se juega es no vacío de lo contrario, el jugador 2 gana.

Entonces uno puede mostrar que si $\omega_1$ inyecta en $\mathbb{R}$, entonces el jugador 2 tiene un ganador de la estrategia.

Pregunta 1: ¿la existencia de una estrategia ganadora para el jugador 2 se muestra en la $ZF + DC$?

Pregunta 2: Si no, entonces es el siguiente uniforme: $ZF + DC +$ "Jugador 1 tiene una estrategia ganadora"? Un posible modelo para este podría ser un modelo de "Toda la multitud innumerable de reales tiene un subconjunto perfecto", pero no sé más.

Answer 1

Creo que la siguiente es una correcta prueba de la siguiente afirmación:

La proposición ($\mathsf{ZF+DC}$). Si el Jugador I tiene una estrategia ganadora, a continuación,$\omega_1\leq\mathbb R$.

Prueba. Deje $F\colon\mathbb R\to\omega_1$ ser un surjection de tal manera que cada fibra es incontable (que es definible en $\mathsf{ZF}$), y deje $q_n$ ser una enumeración de los racionales.

Deje $\alpha<\omega_1$, podemos considerar el siguiente juego: $Y_1=F^{-1}(\alpha)$. Esta es una multitud innumerable, por lo que es un movimiento legal. Jugador que juega por su estrategia, y el Jugador II juega por la siguiente estrategia:

Supongamos $X_n$ fue elegido, vamos a $q$ ser el menos número racional tal que $(q-\frac1n,q+\frac1n)\cap X_n$ es un movimiento legal. Tales racional existe otra manera $X_n$ es el contable de la unión de conjuntos contables, que en virtud de $\mathsf{DC}$ es contable. A continuación, $Y_n$ es que la intersección.

Como el primer jugador tiene una estrategia ganadora que nos asegura que $\bigcap Y_n\neq\varnothing$, pero en este caso la intersección sólo pueden contener un punto, debido a que $a,b\in Y_n$ todos los $n$ significa que $|a-b|<\frac1n$ todos los $n$. Denotamos $r_\alpha$ este único punto.

Es a la izquierda para mostrar que $f(\alpha)=r_\alpha$ es inyectiva, pero esto es trivial debido a que $F(r_\alpha)=\alpha$ por el hecho de que $r_\alpha\in F^{-1}(\alpha)$. $\square$

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De esto se deduce que es imposible en $\mathsf{ZF+DC}$ a tiene una estrategia ganadora para el Jugador I. Pero no es suficiente para demostrar la existencia de una estrategia para el Jugador II.

Creo que el único uso del axioma de elección es en mostrar que los contables de los sindicatos de contable de conjuntos de números reales son contables. Si esto es falso, Andrés dio una estrategia para el Jugador I, y si esto es verdad de los argumentos anteriores, junto con los argumentos en los comentarios a la pregunta muestran que el Jugador que no tiene una estrategia ganadora. De hecho, estamos a la izquierda para mostrar si o no $\mathsf{ZF+DC}$ demostrar que el Jugador II puede ganar, o tal vez hay algún modelo en el que el juego es indeterminado.

Answer 2

Permítanme en primer lugar señalar que (en $\mathsf{ZF}$) si hay una contables de la colección de conjuntos contables de reales cuya unión es incontable, decir $Y=\bigcup_n A_n$, donde podemos muy bien suponer la $A_n$ son disjuntos, entonces II tiene una estrategia ganadora: Para cada una de las $n$, II gana jugando $Y_{n+1}=X_n\cap\bigcup_{m>n}A_m$ donde $X_0=\mathbb R$. Nota de cada $Y_{n+1}$ ha contables complemento en $X_n$, y su intersección está contenida en $\bigcap_n\bigcup_{m>n}A_m=\emptyset$, así que esta es la ganancia para el II.

Una versión anterior de esta respuesta tuvo un error. Asaf ha dado la respuesta correcta, me permito añadir algunas observaciones: Asaf prueba de realidad muestra que, si cada contables de la unión de conjuntos contables de reales es contable, y que tiene una estrategia ganadora, a continuación,$\omega_1\le \mathbb R$. Como se describe en los comentarios, si $\omega_1\le\mathbb R$, que entonces era una estrategia ganadora. Queda por abordar lo que sucede cuando las $\omega_1\not\le\mathbb R$ pero contables de los sindicatos de contable de conjuntos de reales son contables. (Las dos posibilidades son que el juego es indeterminado, o que II tiene una estrategia ganadora.)