R-la simetría del conmutador

Question

He visto el reclamo efectuado varios colocado; Terning "Modern Supersimetría" p. 5 en N=1 SUSY álgebra miembros, así como a cualquier persona:

SUSY álgebra es invariante bajo una multiplicación de las $Q_\alpha$ por una fase, por lo que en general no es una combinación lineal de $U(1)$ de los cargos, llamado el $R$-carga, que no conmuta con $Q$$Q^\dagger$:

$[Q_\alpha,R] = Q_\alpha, \;\;\;[Q^\dagger_\dot{\alpha},R]=-Q^\dagger_\dot{\alpha}$

La primera instrucción es fácil de ver. Pero

(1) ¿por Qué hay una combinación lineal de los cargos de que no viaje?

(2) ¿Cómo llegamos a estos conmutadores? (Me imagino que los generadores se puede aplicar el zoom a dar el coeficiente de $\pm1$, pero me gustaría una explicación más clara.)

He hablado con un compañero que dijo que las relaciones de conmutación pueden encontrarse en una muy general, matemáticamente tratamiento pesado de lo más general posible SUSY álgebra. ¿Hay alguna manera más fácil de entender?

Answer 1

El punto es que la SUSY álgebra, \begin{align} & \left\{ Q _\alpha ,Q _\beta \right\} = \left\{ \bar{Q} _{\dot{\alpha}} , \bar{Q} _{\dot{\beta}} \right\} = 0 \\ & \left\{ Q _\alpha , \bar{Q} _{\dot{\beta}} \right\} = 2 \sigma ^\mu _{ \alpha \dot{\beta} }P ^\mu \end{align} es invariante bajo la multiplicación de $ Q _\alpha $ por una fase, \begin{align} Q _\alpha & \rightarrow e ^{ - i \phi } Q _\alpha \\ \bar{Q} _{\dot{\alpha}} & \rightarrow e ^{ i \phi } \bar{Q} _{\dot{\alpha}} \end{align} Esto significa que usted puede tener un SUSY invariante de la teoría, pero todavía tienen un adicional de simetría que la diferencia entre bosones y fermiones (ya que no necesito viajar con $ Q _\alpha $).

Para ver este fin de considerar explícitamente el efecto de una $R$ simetría en $ Q _\alpha $: \begin{align} e ^{ -i R \phi } Q _\alpha e ^{ i R \phi } & = e ^{ - i \phi } Q _\alpha \\ \left( 1 - i R \phi - ... \right) Q _\alpha \left( 1 + i R \phi - ... \right) & = - i \phi Q _\alpha \\ i \left[ Q _\alpha , R \right] \phi = - i \phi Q _\alpha \\ \left[ Q _\alpha , R \right] = - Q _\alpha \end{align} Así, este cambio de fase de la simetría implica que la conmutación entre el $R$ simetría generador y $ Q _\alpha $ es trivial y, por tanto, bosones y fermiones puede tener diferentes R de carga. Esto es lo que hace R simetrías tan especial. Esta discusión es probable que sea más complicado para $ {\cal N} > 1 $.