Camino con pasos entero

Question

Recuerdo que el día de hoy un problema que me escuchan por primera vez, probablemente, hace 12 años:

Supongamos que un caminante se inicia un recorrido en el punto de $A$ en $\mathbb{R}^2$. El primer día, el caminante recorre una distancia de $M$ km ($M\in\mathbb{N}\setminus\{0\}$) y se detiene durante el día. En los próximos días, el caminante viaja cada día a 1 km más que el día anterior, en una dirección diferente que la día anterior, y luego se detiene.

Pregunta: ¿el walker ha regresado al punto de partida? Es decir, hay una ruta de acceso con las condiciones anteriores, que termina en $(0,0)$ después de un número entero $n$ de los días?

Por ejemplo, yo sé que este problema podría haber soluciones si la distancia recorrida, el primer día es de 3 km (mediante una terna Pitagórica $(3,4,5)$), pero no sé como llegar a otras soluciones, o incluso si se considerar $M\in\mathbb{R}$ también será interesante.

También no sé si es fácil o difícil pregunta, o si está relacionada con un problema mucho más difícil. ¿Alguien sabe cómo solucionar este problema? o uno similar?

---

Post-edición: Gracias a @ChristianBlatter ahora sabemos que la respuesta es positiva si usted admite cualquier punto como un punto de parada. Pero ¿qué ocurre si usted requiere además que los puntos de parada debe tener coordenadas enteras?

Answer 1

Por ejemplo, cuando se $n=8$ el walker podría ir ($M$ es un número entero positivo):

$M$ Oriente

$M+1$ Norte

$M+2$ Oeste

$M+3$ Sur

$M+4$ Oeste

$M+5$ Sur

$M+6$ Oriente

$M+7$ Norte,

y que traería el andador de vuelta a casa, mientras se detiene sólo en los puntos intermedios que tienen tanto las coordenadas de los números enteros.

Answer 2

Esta no es una respuesta completa, pero no tengo la reputación de comentario todavía. Este problema de inmediato parece ser el estudio de las intersecciones de los círculos en el plano. Mientras que no puedo responder en general, se puede derivar la (3,4,5) terna pitagórica respuesta usando un método. \Diga que quiere volver en 3 días, comenzando con un paso de 3. En el primer día se terminaría en algún lugar de un círculo centrado en el origen de radio 3, y en el inicio del último día que requieren que usted está en un círculo de radio 5, centrada en el origen. Sin pérdida de generalidad que viajan a lo largo del eje x en el día 1 y, a continuación, dibuje un círculo de radio 4 en (3,0). \Las intersecciones de estas tres círculos produce su solución y demuestra que es la única solución en los criterios (3 días de viaje, a partir de M=3)

Answer 3

Podemos demostrar la existencia de tales cerrado paseos inductivamente como sigue:

Con $(M,M+1,\ldots, M+n-1)$ nos indican algún admisible cerrado $n$-gon cuya consecutivos longitudes de los lados de comenzar con $M\in{\mathbb N}_{\geq1}$.

Usted no puede producir un $(1,2,3)$, pero puede producir una $(1,2,3,4)$ $(M,M+1,M+2)$ cualquier $M\geq2$. Suponga que usted puede hacer $(M,M+1,\ldots, M+n-1)$ algunos $n\geq3$. A continuación, se puede reemplazar la última etapa de la longitud de la $M+n-1$ por dos patas de longitud $M+n-1$$M+n$, respectivamente, y de esta manera obtener un $(M,\ldots,M+n)$.

Answer 4

Si no estoy equivocado el camino aleatorio con vértices:

-6,  -2,
-3,  -6,   len=5
-9,  -6,   len=6
-9, -13,   len=7
-1, -13,   len=8
-1, -22,   len=9
 5, -14,   len=10
-6, -14,   len=11
-6,  -2,   len=12

se adapta a las condiciones de su editada pregunta.

No tengo condiciones de existencia, pero, al menos, sabemos que el problema tiene soluciones.

EDITAR:

Quizás te va a gustar este viaje, con una longitud de$1$$15$.

Answer 5

Aquí está una intuitiva "prueba" de que tal un paseo existe para cualquier $n\ge 3$. Considere la secuencia $k+1$, $k+2, \dotsc, k+n$. Si consideramos estos como las longitudes de los lados de un convexo $n$-gon, entonces como $k\to\infty$, este se acerca a un regular $n$-gon, por lo que es ciertamente plausible que ese $n$-gon existe, al menos para algunos $k$ (es decir, que puede ser cerrado).