Necesito demostrar que el conjunto de todos los trascendentales números es denso en $\mathbb{R}$, y para ese fin, he escrito la siguiente prueba:
Deje $\mathbb{T}$ denota el conjunto de trascendental números en $\mathbb{R}$. En primer lugar, observa que el $\mathbb{T} \subset \mathbb{R}\setminus \mathbb{A}$ donde $\mathbb{A}$ indica los números algebraicos en $\mathbb{R}$.
Siguiente, ya $\mathbb{A}$ es un campo, es cerrado bajo la multiplicación y la $\forall a \in \mathbb{A}$, $a \neq 0$, $\exists a^{-1} \in \mathbb{A}$ tal que $a^{-1}a = aa^{-1} = 1$. Así, $\forall t \in \mathbb{T}$, $a \in \mathbb{A}$ s.t. $a \neq 0$, $x=ta \in \mathbb{T}$; de lo contrario, $t = xa^{-1}$ sería algebraicas, cuando hemos asumido que fue trascendental.
Desde $\mathbb{Q} \subset \mathbb{A}$, es suficiente para mostrar que el racional múltiplos de trascendental números (o, al menos, la parte racional de los múltiplos de un subconjunto de la trascendental números) son densos en $\mathbb{R}$.
A tal fin, considerar la posibilidad de $a,b \in \mathbb{R}$ s.t. $a<b$. A continuación, $\displaystyle \frac{a}{\pi},\frac{b}{\pi}\in \mathbb{R}$, e $\displaystyle \frac{a}{\pi} < \frac{b}{\pi}$.
Por la densidad de los números racionales en los reales, $\exists\, q \in \mathbb{Q}$ s.t. $$ \frac{a}{\pi} < q < \frac{b}{\pi}. $$ Multiplicando por $\pi$, un trascendental número, obtenemos $$ a < \pi q < b. $$ Desde $a,b$ fueron arbitrarias números reales, y $\pi q \in \mathbb{T}$, podemos concluir que $\exists$ trascendental número entre cualquier dos reales; es decir, $\mathbb{T}$ es denso en $\mathbb{R}$.
Lo que yo estoy pidiendo aquí es si alguien me podria decir si esta prueba no es correcta. He visto un montón de pruebas de la densidad de la trascendentales en $\mathbb{R}$ que implican countability. Sin embargo, en este caso, yo preferiría una prueba de que no se recurre a una countability argumento.
Gracias.
