Esta es una tarea de ejercicios del Álgebra de conferencias.
Necesito para evaluar la forma normal de Smith la siguiente matriz $$A:=\begin{pmatrix}1 & -\xi & \xi-1\\2 \xi&8&8\xi+7\\\xi& 4 & 3\xi +2 \end{pmatrix} \in M(3\times 3;\Bbb{Z}[\xi]),$$ donde $\xi := \frac{1+\sqrt{-19}}{2}$.
Hemos visto en la conferencia, que de forma similar a como para los anillos, existe la Forma Normal de Smith también para el PID. Para solucionar el problema (no necesitamos encontrar $S, T \in M(3 \times 3; \Bbb{Z}[\xi])$, de tal manera que $SAT$ está en la Forma Normal de Smith) se aplicó la fila y la columna de operaciones, prestando especial atención a no multiplicar las filas y las columnas nonunits, ya que esto no está permitido. (También de acuerdo a esta respuesta). Los pasos que hemos realizado son:
\begin{align*}\begin{pmatrix}1 & -\xi & \xi-1\\2 \xi&8&8\xi+7\\\xi& 4 & 3\xi +2 \end{pmatrix} &\desbordado{2\text{columnas}+\xi \text{ primera columna}}{\leadsto} \begin{pmatrix}1 & 0 & \xi-1\\2 \xi&8+2\xi^2&8\xi+7\\\xi& 4+\xi^2 & 3\xi +2 \end{pmatrix}\\ \desbordado{3\text{columnas}-(\xi-1) \text{ primera columna}}{\leadsto} \begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\2 \xi&8+2\xi^2&-2\xi^2+10\xi+7\\\xi& 4+\xi^2 & -\xi^2+4\xi+2 \end{pmatrix} &\desbordado{2\text{fila}-(2\xi) \text{ primera fila}}{\leadsto} \begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\0&8+2\xi^2&-2\xi^2+10\xi+7\\\xi& 4+\xi^2 & -\xi^2+4\xi+2 \end{pmatrix}\\ \desbordado{3\text{fila}-(\xi) \text{ primera fila}}{\leadsto} \begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\0&8+2\xi^2&-2\xi^2+10\xi+7\\0& 4+\xi^2 & -\xi^2+4\xi+2 \end{pmatrix}& \desbordado{2\text{fila}-2 \text{ tercera fila}}{\leadsto} \begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\0&0&2\xi+3\\0& 4+\xi^2 & -\xi^2+4\xi+2 \end{pmatrix}\\ \desbordado{\text{swap columnas}}{\leadsto} \begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\0&2\xi +3&0\\0& -\xi^2+4\xi+2 & 4+\xi^2 \end{pmatrix} & \\ \desbordado{\text{segunda columna $+$ tercera columna}}{\leadsto} \begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\0&2\xi +3&0\\0& 4 \xi +6 & 4+\xi^2 \end{pmatrix} & \desbordado{\text{tercera fila } - 2 \text{ segunda fila}}{\leadsto} \begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\0&2\xi +3&0\\0& 0 & 4+\xi^2 \end{pmatrix}=: B \end{align*}
Desafortunadamente, el término $b_{33}$ no es divisible por el término de $b_{22}$ como debe ser. Hemos realizado los pasos muchas veces, pero que no puede encontrar el error (me estoy haciendo esta tarea ejercicio con mis compañeros de clase). ¿Tal vez encontrar? Gracias de antemano por cualquier ayuda.
