Cuándo puede un espacio métrico ser incrustado en el avión?

Question

Es fácil comprobar si un gráfico que puede ser incrustado en el plano: compruebe prohibido para menores de edad. También es fácil comprobar si una "función de distancia" puede ser incrustado? ¿Existen las condiciones necesarias y suficientes uno puede comprobar?

Yo sé que hay un montón de investigación sobre aproximado de incrustaciones, pero es evidente que en algunos casos no es necesario.

Answer 1

Hay grandes obstáculos para isométrica de la incorporación de un espacio métrico en el avión! Si existen tres pinturas $a,b,c$ donde el triángulo de la desigualdad es estricta (es decir,$d(a,b)+d(b,c)+d(a,c)<2\max\{d(a,b),d(b,c),d(a,c)\}$), a continuación, en cualquier otro punto es "muy probable" para producir una contradicción: la De saber que $d(a,x)$ $d(b,x)$ sólo hay dos posiciones de los candidatos para $x$ y lo que realmente necesita una "coincidencia" si uno de ellos tiene la distancia correcta de $c$.

Answer 2

Tengo el siguiente

Conjetura. Un espacio métrico $(X,d)$ puede ser isométricamente incrustado en el avión $\mathbb R^2$ dotado con el estándar métrico $\rho$ fib cada uno de los cuatro puntos subespacio de $(X,d)$ puede ser isométricamente incrustado en el plano.

Para construir una incrustación $i$ reparamos tres puntos diferentes $x$, $y$ y $z$ $X$ para que el triángulo de la desigualdad es estricta y corregir una arbitraria de la incrustación de $i_0:(\{x,y,z\},d|\{x,y,z\})\to (\mathbb R^2, \rho )$ (caso cuando no hay ningún tipo de triples $\{x,y,z\}$ tienen que ser considerados por separado). Deje $t\in X$ ser un punto arbitrario. Parece que no existe un único punto de $t'\in \mathbb R^2$ tal que $d(x,t)=\rho(i_0(x),t')$, $d(y,t)=\rho(i_0(y),t')$, y $d(z,t)=\rho(i_0(z),t')$. Poner $i(t)=t'$. Entonces parece que $i$ es un isométrico de la incrustación.