Schur functors como espacios de "bandera tensores"?

Question

Considere la siguiente construcción: para un espacio vectorial $V$, definir $W \subseteq \bigwedge^2 V \otimes V$ por

$W = \langle\ \alpha \otimes v : v \in \text{Span}(\alpha) \ \rangle$,

es decir, $W$ es atravesado por el indicador de "tensores", como en 2 plano que contiene una línea. Por supuesto, podemos hacer construcciones similares de formas arbitrarias de banderas.

Cómo es $W$ relacionado con el Schur functor $\mathbb{S}^{2,1}(V)$?

(Edit: he respondido a esta instancia en particular de la cuestión. Consulte a continuación).

Tenga en cuenta que los generadores de $W$ satisfacer la misma "a las relaciones de intercambio" que se utiliza para definir la Schur functor (por ejemplo, en Fulton Jóvenes de Cuadros): por ejemplo, si $\alpha = x \wedge y$, e $v = ax + by$, luego por jugar con los tensores, uno puede mostrar

$x \wedge y \otimes v = v \wedge y \otimes x + x \wedge v \otimes y$,

cual es la definición de la relación utilizada para construir los $\mathbb{S}^{2,1}(V)$ como un cociente de $\bigwedge^2 V \otimes V$ (por modding a cabo por él). Esto funciona para todas las otras relaciones de intercambio para otras formas de la bandera.

El cociente de la imagen es agradable a analizar (por ejemplo, para obtener una base de toma algo relativamente sencillo combinatoria), y es muy natural que la geometría algebraica, ya que corresponde a la surjection

$H^0(\mathbb{P}(\bigwedge^2 V) \times \mathbb{P}(V),\mathcal{O}(1,1)) \to H^0(Fl^{2,1}(V),\mathcal{O}_{Fl^{2,1}(V)}(1,1)),$

viniendo de la Plücker la incrustación de la (2,1)-bandera de gran variedad. (Es un hecho general de que el Schur functors dar la multigraded componentes de la bandera variedad de Plücker coordinar anillo de esta manera.)

Por otro lado, el programa de instalación de arriba con el indicador de "tensores" es atractivamente simple y me gustaría entenderlo. Por ejemplo, la definición de $W$ es claramente functorial y un $GL$-subrepresentation (la condición de $v \in \text{Span}(\alpha)$ $GL$- invariante).

Es en realidad (o casi) el mismo espacio? Es simplemente doble para el cociente de la imagen de alguna manera? (Tal vez mi $W$ es sólo $\mathbb{S}^\lambda(V^*)$ o de algo).

O es totalmente diferente? Me confundí cuando traté de trabajar en esto, especialmente desde que (a) hay otras formas de construcción de Schur functors como subespacios en lugar de cocientes, (b) no estoy seguro de cómo definir $W$ para una partición $\lambda$ con la repetición de las longitudes de columna. Por ejemplo, $\lambda = (2,2,2,1)$ debe provenir de $Sym^3(\bigwedge^2V) \otimes V$. Debe el correspondiente indicador de "tensores" ser de la forma $\alpha_1 \alpha_2 \alpha_3 \otimes v$ donde $v \in \text{Span}(\alpha_i)$ por cada $i$?

Gracias!

Edit: Una forma rápida de ver que el $W$ dado inicialmente es isomorfo a $\mathbb{S}^{2,1}(V)$ es el uso de la Pieri regla, que en este caso se dice que el $\bigwedge^2V \otimes V \cong \mathbb{S}^{2,1}(V) \oplus \bigwedge^3 V$. Y la definición de garantizar que

$W = \ker\left( \bigwedge^2V \otimes V \to \bigwedge^3 V\right).$

Answer 1

Esta es una respuesta incompleta.

Creo que la "bandera de tensor de espacio" $W$ descrito anteriormente es el Schur functor $\mathbb{S}^\lambda(V)$, como se esperaba. Cabe resaltar el hecho de que, a diferencia de cualquiera de los dos construcciones de $V^{\otimes \lambda}$ (quotienting por las relaciones de intercambio, o la generación de un subespacio utilizando Joven symmetrizers), el espacio de $W$ no es ni un cociente ni un subespacio, pero en realidad un subquotient de $V^{\otimes \lambda}$: en primer lugar, quotiented para obtener el exterior de las potencias, luego se pasa a un subespacio.

En cualquier caso, a ver que $W$ es el espacio correcto, vamos a $\lambda$ ser una partición con longitudes de columna $\mu_1, \ldots, \mu_k$, y por simplicidad se asume que son todas diferentes. Primero observamos que la norma mapa

$\phi: \bigwedge^{\mu_1} V \otimes \cdots \otimes \bigwedge^{\mu_k} V \to \mathbb{S}^\lambda(V),$

se define mediante la imposición de las relaciones de cambio, es distinto de cero cuando se limita a la "bandera de tensor de subespacio" $W$. Por ejemplo, toma la bandera cuyas $i$-ésima componente es $e_1 \wedge \cdots \wedge e_{\mu_i}$ para el peso máximo del vector de $\mathbb{S}^\lambda(V)$. En el cuadro base, este es el SSYT cuyas $i$-ésima fila se compone sólo de $i$'s. En particular, $W$ contiene(n isomorfo copia de) $\mathbb{S}^\lambda(V)$.

Ahora la idea es mostrar que $W$ es una representación irreducible, es decir, tiene un único límite máximo de peso de vectores: a saber, el que acabo de describir. Esto no es totalmente trivial - de hecho, se pone de manifiesto una debilidad de este enfoque para la definición de la representación, que es la descomposición en peso de espacios no es particularmente evidente. (La mayoría de ellos se derivan, esencialmente, de los Jóvenes symmetrizers, aunque tenga en cuenta que la alternancia de signos para las columnas de a $\lambda$ se generan automáticamente, ya que estamos trabajando con cuñas de vectores. Nuestros Jóvenes symmetrizers necesidad sólo se suman a lo largo de permutaciones de las filas de $\lambda$.)

Podemos imaginar la expansión de una bandera tensor de multilinearly en una gran suma de tensores de las cuñas de la base de los elementos de $e_1, \ldots, e_n$, y la agrupación de términos en peso vectores utilizando el evidente peso de vectores en $\bigwedge^{\mu_1} V \otimes \cdots \otimes \bigwedge^{\mu_k} V$.

Una alternativa, handwavy argumento es el uso de una parte superior triangular de la matriz a "shift" una bandera tensor más cerca de los de mayor peso de la bandera tensor dado anteriormente. Suponiendo que esto se puede hacer, se deduce que el $W$ es irreductible.

Si hay una manera correcta para completar los detalles aquí, yo estaría feliz de saber de ti, pero yo estoy más o menos convencido lo suficiente como para mi propia satisfacción. Si no hay más respuestas en 2-3 días, voy a aceptar mi respuesta.