Único simétrica covariante $k$-tensor de la satisfacción de $(\operatorname{Sym} T)(A,...,A)=T(A,...,A)$ todos los $A \in V$

Question

Deje $T$ ser un covariante $k$-tensor en un número finito de dimensiones de espacio vectorial $V$. Quiero demostrar que la simetrización de la $T$ es el único simétrica $k$-tensor de satisfacer la condición siguiente:

$(\operatorname{Sym} T)(A,\ldots,A)=T(A,\ldots,A)$ todos los $A \in V$.

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Definición. Simetrización de la $T$ se define como $$(\operatorname{Sym}T)(A_1,\ldots,A_k)=\frac{1}{k!} \sum_{\sigma \in S_k} T(A_{\sigma(1)},\ldots,A_{\sigma(k)})$$ where $S_k$ is the symmetric group on $k$ letras.

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Supuse que existe otra simétrica $k$-tensor $\tilde{T}$ que satisface la condición. Desde $\tilde{T}$ es simétrica, es igual a su simetrización $\operatorname{Sym} \tilde{T}$. Entonces traté de demostrar que el $(\operatorname{Sym}T)(A_1,\ldots,A_k)=\tilde{T}(A_1,\ldots,A_k)$, o lo que es equivalente, $(\operatorname{Sym}T)(A_1,\ldots,A_k)=(\operatorname{Sym}\tilde{T})(A_1,\ldots,A_k)$ pero no pude.

Gracias de antemano.

Answer 1

He aquí un análisis del caso $k=2$. Supongamos $\bar T$ es otra simétrica del tensor de la satisfacción de $\bar T(A,A)= T(A,A)$ todos los $A$.

Ahora $$T(x+y,x+y)=\bar T(x+y,x+y)= \bar T(x,x)+\bar T(x,y)+\bar T(y,x)+\bar T(y,y).$$ This equals $T(x,x)+2\barra T(x,y)+T(y,y)$. Así $$\bar T(x,y)=\frac{1}{2}(T(x+y,x+y)-T(x,x)-T(y,y)).$$ Por lo $\bar T$ está determinada únicamente por $T$. Desde $Sym(T)$ es simétrica y también satisface la fórmula $Sym(T)(A,A)=T(A,A)$, $\bar T$ y $Sym(T)$ debe ser igual.

Una similar, pero más complicado, argumento funciona en el caso de $k>2$.

Answer 2

Un tensor simétrico $T:V^n\to k$ desciende a un funcional lineal $\tilde{T}:\mathrm{Sym}^nV\to k$ sobre el álgebra simétrica. Denotar la diagonal $V^{[n]}=\{v^n:v\in V\}$. Como se ilustra en la otra respuesta, al $n=2$,

$$xy=\frac{(x+y)^2-(x^2+ y^2)}{2},$$

lo que demuestra que cada elemento de la $\mathrm{Sym}^2(V)$ puede ser escrito como una combinación de elementos de nuestro conjunto de plazas $V^{[2]}$. Del mismo modo, para arbitrario $n$, es suficiente para nuestros propósitos para mostrar que $\langle V^{[n]}\rangle$ siempre $\mathrm{Sym}^nV$, porque entonces cada elemento es una combinación lineal de las $n$th poderes, y por lo $\tilde{T}$ está determinada únicamente por sus valores en $V^{[n]}$.

Equivalentemente, buscamos demostrar que en el polinomio anillo de $k[x_1,\cdots,x_n]$, la primaria polinomio simétrico $e_n$ puede ser escrita como una suma de $n$th poderes de grado $1$ homogéneos (pero no necesariamente simétrica!) polinomios. Si podemos hacer esto, podemos escribir $x_1\cdots x_n$ como una combinación lineal de términos de $V^{[n]}$ imitando la fórmula para el polinomio de anillo.

Esta es una respuesta incompleta. No estoy seguro si el de arriba pensamientos hacen esta pregunta (en el caso general) es más fácil o más difícil, pero me parece un camino natural a seguir. Voy a formular una pregunta de seguimiento...