Encontrar $$\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{\tan(x^3+y^3)}{\sin(x^2+y^2)}$$
¿Ustedes qué piensan acerca de este enfoque, y hay alguna más rápido y más fácil enfoques?
Mi planteamiento:
- $\frac{\tan(x^3+y^3)(x^2+y^2)}{\sin(x^2+y^2)(x^2+y^2)}$
2.$\frac{\tan(x^3+y^3)}{(x^2+y^2)}$
$\frac{\sin(x^3+y^3)}{\cos(x^3+y^3)\rightarrow 1(x^2+y^2)}$
$\frac{\sin(x^3+y^3)}{(x^2+y^2)}$
Polar: $rcos^3\phi + rsin^3\phi = 0 + 0 = 0$
Por lo tanto,
$$\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{\tan(x^3+y^3)}{\sin(x^2+y^2)} = 0$$
Tenga en cuenta que
$$ \frac{\tan(x^3 + y^3)}{\sin(x^2 + y^2)} = \frac{1}{\cos(x^3+y^3)} \frac{\sin(x^3 + y^3)}{\sin(x^2 + y^2)} = \underbrace{\frac{1}{\cos(x^3+y^3)}}_{\text{(1)}} \underbrace{\frac{\sin(x^3 + y^3)}{x^3 + y^3}}_{\text{(2)}} \underbrace{\frac{x^2 + y^2}{\sin(x^2 + y^2)}}_{\text{(3)}} \underbrace{\frac{x^3 + y^3}{x^2 + y^2}}_{\text{(4)}}.$$
El primer término del producto es continua en a $(x,y) = (0,0)$. El segundo término es de la forma $g(p(x,y))$ donde
$$ g(z) = \begin{cases} \frac{\sin(z)}{z} & z \neq 0 \\ 1 & z = 0 \end{cases} $$
es continua y $p(x,y) \rightarrow 0$$(x,y) \rightarrow (0,0)$, por lo que tiende a $g(0)$. El tercer término es también de la forma $g(p(x,y))$ diferentes $g$$p$. El último término puede ser tratado fácilmente usando coordenadas polares.
Yo diría que para $\vert z \vert$ lo suficientemente pequeño como $$\vert \tan z \vert \le 2 \vert z \vert$$
Por tanto, para $\vert x \vert + \vert y \vert$ lo suficientemente pequeño $$\left\vert \frac{\tan(x^3+ y^3)}{\sin (x^2 +y^2)} \right\vert \le \frac{2(\vert x \vert^3+ \vert y \vert^3)}{\sin (x^2 +y^2)} \le 2 \frac{x^2+y^2}{\sin (x^2+y^2)}(\vert x \vert + \vert y \vert)$$ and you are done as $\lim\limits_{z \to 0} \frac{\sen z}{z} = 1$ and $\lim\limits_{(x,y) \to 0} \vert x \vert + \vert y \vert =0$
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