Demostrar $4a^2+b^2+1\ge2ab+2a+b$

Question

Demostrar $4a^2+b^2+1\ge2ab+2a+b$

$4a^2+b^2+1-2ab-2a-b\ge0$
$(2)^2(a)^2+(b)^2+1-2ab-2a-b\ge0$
Cualquier ayuda desde aquí? Yo no soy de ver cómo esto puede ser factorizado

Answer 1

Como una función de la $a$, el mínimo de la cuadrática $4a^2+b^2+1-(2ab+2a+b)$$\frac34 (b - 1)^2 \ge 0$.

Más precisamente, $$4a^2+b^2+1-(2ab+2a+b)=\left(2a-\frac{b+1}{2}\right)^2+\frac34 (b - 1)^2 \ge 0$$

Answer 2

Deje $x=(2a,b,1)$$y=(1,2a,b)$. Entonces, Cauchy-Schwarz

$2ab+2a+b= <x,y> \le ||x||*||y||=\sqrt{4a^2+b^2+1}*\sqrt{4a^2+b^2+1}=4a^2+b^2+1$

Answer 3

Multiplicar por $2$, entonces tenemos: $$8a^2+2b^2+2 \ge 4ab+4a+2b$$ y reordenando, se obtiene: $$(4a^2-4ab+b^2)+(b^2-2b+1)+(4a^2-4a+1) \ge 0$$ y, a continuación, $$(2a-b)^2+(b-1)^2+(2a-1)^2 \ge 0$$

Answer 4

La escuela secundaria de la solución: $$ 4a^2+b^2+1-2ab-2a-b=\frac{(2a-1)^2+(2a-b)^2+(b-1)^2}{2}\ge 0. $$