Sobre el isomorfismo de anillos entre productos cartesianos de anillos

Question

Dejemos que $R$ sea un anillo conmutativo (no nulo) con unidad. Para $n \in \mathbb N$ denotar por $R^n$ el anillo bajo la habitual suma y multiplicación por coordenadas. Si $R$ es además artiniano y $R^m \cong R^n$ como anillos, entonces es cierto que $m=n $ ?

Sé que una afirmación similar es cierta si nos fijamos en $R^n$ como $R$ -módulo. Para mi pregunta del caso del anillo es fácil ver que $R^m \cong R^n$ como anillos implica $m=n$ es verdadera si $R$ tiene un número finito de idempotentes o digamos que si $R$ tiene un número finito de ideales máximos y es falso si $R=\prod_{ \mathbb N}S=S^\mathbb N$ para cualquier anillo $S$ .

Por favor, ayuda. Gracias de antemano.

Answer 1

En lo que sigue, todos los anillos son conmutativos con la unidad que es distinta de cero.

La afirmación es cierta en general para los anillos noetherianos ( por tanto también para los anillos artinianos ya que los anillos artinianos son noetherianos )

En primer lugar, recordemos un hecho: si $R$ es un anillo noetheriano, entonces cualquier endomorfismo de anillo sobreyectivo de $R$ es un isomorfismo . Este es un hecho muy conocido y se demuestra considerando la cadena ascendente de ideales $\{\ker f^n \}_{n\ge 1}$ si $f:R \to R$ es el homomorfismo de anillo suryente dado .

Ahora bien, como los ideales de un producto directo de anillos $R \times S$ parece $I \times J$ donde $I,J$ son ideales de $R , S$ respectivamente, por lo que si $R,S$ son anillos noetehrianos, entonces $R \times S$ también es un anillo noetheriano. Supongamos ahora $R$ es un anillo noetheriano y deja que , si es posible , $R^m \cong R^n$ como anillos , para algunos enteros $m>n\ge 1$ . Consideremos ahora el homomprisma de anillo suryectivo $f: R^m \to R^n$ definido como $f(r_1,...,r_m)=(r_1,...,r_n) , \forall (r_1,...,r_m) \in R^m$ ( esto es subjetivo ya que $m >n$ ) . Ahora dejemos que $g : R^n \to R^m$ sea un isomorfismo dado . Entonces $g \circ f : R^m \to R^m$ es un homomorfismo de anillo suryente, y entonces como $R^m$ es un anillo noetheriano, obtenemos que $g\circ f$ es un isomorfismo . Por lo tanto, $f$ es un inyectivo , por lo que $\ker f =\{0\}$ . Pero ahora por definición de $f$ , $\ker f =\{(0,...,r_{n+1},...,r_m)\in R^m | r_{n+1},...,r_m \in R\} \cong R^{m-n}$ como $R$ -módulos , por lo que $R^{m-n} \cong 0$ como $R$ -módulos ; pero como $m-n \ge 1$ y $R$ tiene la unidad que es distinta de cero , por lo que $R^{m-n}$ no puede ser singleton, ¡contradicción! Por lo tanto, si $R$ es noetheriano y $R^m \cong R^n$ como anillos entonces $m=n$

Answer 2

Sugerencia: si $A$ es un anillo artiniano conmutativo, entonces $A/J(A)$ es un finito producto de campos, donde $J(A)$ denota el radical de Jacobson; si un anillo es un producto de campos, el número de factores está determinado de forma única.

El resultado no suele ser cierto si el anillo no es artiniano: tomemos un producto infinito de copias de un campo, que es isomorfo a su cuadrado.

Answer 3

Esta respuesta utiliza algo de topología .

Todos los anillos son conmutativos con la unidad en los siguientes .

Demostraremos que el resultado es cierto para cualquier anillo $R$ satisfacer el CAC en los ideales radicales .

Dejemos que $R$ sea un anillo que satisface ACC sobre ideales radicales y tal que $R^m \cong R^n$ como anillos . Entonces $Spec(R^m)$ y $Spec(R^n)$ son espacios topológicos homeomórficos ( para ello, véase el libro de Atiyah ; Macdonald's , Commutative Algebra) . Ahora bien, como $R$ satisface la ACC en los ideales radicales , por lo que $Spec(R)$ es un espacio topológico noetheriano ( véase https://en.wikipedia.org/wiki/Noetherian_topological_space , también Atiyah; el libro de Macdonald); por lo tanto $Spec(R)$ tiene un número finito de componentes conectados (véase http://www-personal.umich.edu/~gcheong/schemes/Notherian-fin-conn-components.pdf por ejemplo) . Sea $Spec(R)$ tienen $t$ ( $>0$ ) muchos componentes conectados . Ahora bien, como el espectro de un producto directo finito de anillos es homeomorfo a la unión disjunta de los espectros individuales , $Spec (R^n)$ tiene $tn$ muchos componentes conectados. Y como el homeomorfismo entre espacios topológicos preserva el número de componentes conectados, entonces $tm=tn$ y por lo tanto $m=n$