Maximizar $\prod_{k=1}^m x_i^{n_i} $ con sujeción a $c =\sum_{k=1}^m a_ix_i $

Question

Este es otro de mis de mis intentos de generalizar un tipo de pregunta tipo de pregunta. Dos de estas preguntas son

Desigualdad basada en la desigualdad AM/GM

y

Si $a+b+c=3$ , encuentre el mayor valor de $a^2b^3c^2$ .

Esta es mi generalización:

Maximizar $\prod_{k=1}^m x_i^{n_i} $ con sujeción a $c =\sum_{k=1}^m a_ix_i $ con $c > 0, a_i > 0, n_i \in \mathbb{N} $ .

Publicaré mi respuesta en dos días si nadie la ha contestado.

Answer 1

Dejemos que $N = \sum n_i$ ( omitiendo los índices de las sumas y los productos, ya que son obvios ). Basta con considerar $x_i > 0$ y luego en lugar de $P = \prod x_i^{n_i}$ podemos, en cambio, maximizar el logaritmo de: $$P \times \prod \left(\frac{a_i}{n_i}\right)^{n_i} = \prod\left(\frac{a_i}{n_i}x_i\right)^{n_i}$$

Ahora la desigualdad de Jensen con la función cóncava $t \mapsto \log t$ da inmediatamente: $$\sum n_i\log\left(\frac{a_i}{n_i} x_i\right) \leqslant N\log\left(\frac{\sum a_i x_i}N \right) = N\log\left(\frac{c}N \right)$$

Así, obtenemos $$P \times \prod \left(\frac{a_i}{n_i}\right)^{n_i} \leqslant \left(\frac{c}N \right)^N \implies P \leqslant \left(\frac{c}N \right)^N \prod \left(\frac{n_i}{a_i}\right)^{n_i}$$

con el máximo cuando la desigualdad de Jensen alcanza la igualdad, es decir, cuando todos $\dfrac{a_i x_i}{n_i}$ son iguales.

---

Cabe destacar $n_i $ siendo reales positivos es suficiente, no es necesario que sean enteros para que esto funcione. El AM-GM ponderado también debería dar el resultado para reales $n_i > 0$ con una cuidadosa elección de los pesos.