¿Existe una solución no trivial para $f(f(f(x)))=-8x$ ?

Question

Dejemos que $f:\mathbb R\to\mathbb R$ sea una función continua tal que $f(f(f(x)))=-8x$ . ¿Debemos tener $f(x)=-2x$ ? Puedo demostrarlo si asumo que $f$ es continuamente diferenciable en todas partes, pero ¿es necesaria esa condición? Me inspiré para hacer esta pregunta después de ver el hilo una función continua que satisface $f(f(f(x)))=-x$ que no sea f(x)=-x .

Algunos hechos que he descubierto, que puedes utilizar sin pruebas:

• $f$ es biyectiva, decreciente y por tanto $f$ es un homeomorfismo y diferenciable en casi todas partes

• $f(0)=0$ porque si $f(0)=a$ entonces $f(f(a))=0$ Así que $-8a=f(f(f(a)))=f(0)=a\implies a=0$ .

• Si $x\neq 0$ , entonces la lista $\ldots,f^{-2}(x),f^{-1}(x),x,f(x),f^2(x),\ldots$ no tiene miembros duplicados, donde $f^n$ es un $n$ la potencia funcional de $f$ .

• Si $f$ es diferenciable en $0$ entonces $f'(0)=-2$ porque $f'(0)f'(0)f'(0)=-8$ .

• $x$ y $f(x)$ tienen signos opuestos si $x\neq 0$ porque $f(0)=0$ y $f$ está disminuyendo.

• $f\circ f$ restringida a los números positivos es una función creciente.

• Si asumimos $f$ es continuamente diferenciable en todas partes, entonces $f(x)=-2x$ . Prueba: Sea $a_n=f^n(x)$ para algunos $x\neq 0$ . Entonces $f'(a_1)f'(a_2)f'(a_3)=-8$ y $f'(a_2)f'(a_3)f'(a_4)=-8$ que nos da $f'(a_k)=f'(a_{k+3})$ para todos los enteros $k$ . Desde $a_{3k}=(-8)^kx\to 0$ cuando $k\to-\infty$ obtenemos $f'(x)=\lim_{k\to-\infty}f'(f^{-3k}(x))=f'(0)=-2$ y por lo tanto $f(x)=-2x$ es la única solución.

Answer 1

Voy a poner $f(-x)=-f(x)$ y $g(x)=-f(x)$ .

Ahora $g(g(g(x)))=-f(-f(-f(x)))=-f(f(f(x)))=8x$ .

Por lo tanto, estoy buscando un $g$ de $\mathbb R^+$ a $\mathbb R^+$ .

Ahora, me refiero a $h(x)=\log(g(\exp(x)))$ donde $h(x)$ es una función de $\mathbb R$ a $\mathbb R$ que es continua.

Entonces $$\begin{multline} h(h(h(x)))=\log(g(\exp(\log(g(\exp(\log(g(\exp x))))))))\\ =\log(g(g(g(\exp(x))))=\log(8\exp(x))=\log 8 + x=x+3\log 2.\end{multline}$$

Ahora, pon $i(x)=h(x\log 2)/\log(2)$ . Claramente, $i(i(i(x)))=x +3$ .

Ahora, es fácil ver que basta con encontrar tres biyecciones continuas crecientes de intervalos, para que su concatenación sea la identidad.

Por ejemplo, dejemos que $a(x)=x$ , $b(x)=x^2$ y $c(x)=\sqrt x$ sean tales biyecciones continuas crecientes para el intervalo $(0,1)$ .

Ahora, toma

$$i(x)=\begin{cases} a(\{x\})+\lfloor x\rfloor +1 \text{ if $ 3n \le \lfloor x \rfloor < 3n+1 $ }\\ b(\{x\})+\lfloor x\rfloor +1 \text{ if $ 3n+1 \le \lfloor x \rfloor < 3n+2 $ }\\ c(\{x\})+\lfloor x\rfloor +1 \text{ if $ 3n+2 \le \lfloor x \rfloor < 3n+3 $}\\ \end{cases}$$

donde $\{x\}$ denota la parte fraccionaria de $x$ .

$i(x)$ es ciertamente continua, creciente y tiene la propiedad de concatenación correcta.

Esto da una de las muchas soluciones continuas para la ecuación original.

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En caso de que se pregunte por qué esto es sustancialmente diferente de $f(f(f(x))))=-x$ , nótese que para estas ecuaciones el objeto importante es la estructura de la gráfica de los números reales con flechas de $x$ a $g(x)$ donde $g$ es la función del lado derecho.

Para $-8x$ los números reales se dividen en cadenas 0 y doblemente infinitas, mientras que para $-x$ los números reales se dividen en 0 y círculos de longitud 2.

Para ir a $f$ de las cadenas infinitas, hay que tomar tres de las cadenas y recorrerlas para tener una cadena de $f$ . Hay tantas formas de hacerlo que es bastante esperanzador que algunas de ellas sean continuas.

Sin embargo, si se intenta combinar tres de los círculos de longitud 2 de forma similar, no se obtendrá una función monótona, $f$ es biyectiva y continua, por lo que tiene que ser monótona. Por tanto, la única posibilidad es que $f$ mapea cada círculo a sí mismo lo que da la solución única.

Así que, en resumen, las cadenas son más fáciles de conciliar con la monotonía que los círculos.

Answer 2

En uno de sus grandes respuestas, Martin nos dio los orbitales moleculares calculados para el monóxido de carbono que copio a continuación. Nótese que aunque el cianuro tiene un átomo de nitrógeno en lugar del oxígeno y presenta una sola carga negativa, podemos cualitativamente consideran que los esquemas de MO son idénticos, por lo que me basaré en lo que se ve en la imagen.

En este esquema, el HOMO se denomina MO número 7; como 5 y 6 son MOs de tipo π, esto corresponde a la 5σ que has mencionado.

Una cosa que notamos inmediatamente es que el lóbulo centrado en el carbono del HOMO es muy difuso y se extiende mucho en el espacio; mucho más lejos que cualquier otro orbital de la molécula. También es el orbital al que se uniría un ácido (ya sea protón o ácido de Lewis). En la teoría HSAB de Pearson, los orbitales grandes y difusos -a menudo también llamados polarizable - se asocian a ácidos o bases suaves, ya que el valor de la carga por volumen se considera comparativamente bajo. Por lo tanto, sólo con observar el tamaño de este orbital, podemos identificarlo como "blando".

También hay que explicar por qué las bases blandas tienden a crear complejos más estables con los ácidos blandos. Esto es una consecuencia directa de la naturaleza más difusa del orbital: el solapamiento entre dos orbitales (que posteriormente formarán un enlace) es típicamente mejor si los orbitales tienen formas similares y tamaños. Así, debido a que el HOMO tiene un lóbulo bastante difuso en el lado del carbono, preferirá unirse a otros compuestos con orbitales bastante difusos en una reacción ácido-base de Lewis.

Eso debería ser todo lo que se necesita para explicar el comportamiento del cianuro según la teoría de Pearson.