Demostrar que $\angle{MKN}$ es el ángulo recto.

Question

Dos círculos se cortan en puntos de $A$$B$. Línea l que pasa a través de $A$ cumple con estos círculos en $C$$D$. Deje $M$ $N$ de los puntos medios de los arcos $BC$ $BD$ que no contengan $A$. Deje $K$ ser el punto medio de la $CD$. Demostrar que $\angle{MKN}$ es el ángulo recto.

He intentado un poco de trigonometría, pero se fue demasiado complejo.

Answer 1

Deje $C'$ ser punto tal que $M$ es punto medio de $CC'$ $D'$ tal que $N$ es punto medio de $DD'$. Punto de $E$ es la intersección de a$CD'$$C'D$. Desde $CM=MB=MC'$, $M$ es circuncentro lo $CBC'$ es triángulo rectángulo. Lo mismo va para el triángulo $DD'B$. Porque cuadriláteros $MBAC$ $BNDA$ son cíclicos, se sigue que

$\angle BMC= 180^\circ-\angle BAC=\angle BAD = 180 ^\circ-\angle BND = \angle BND'$, y a partir de aquí, usted puede encontrar fácilmente que los triángulos rectángulos $CBC'$ $DD'B$ son similares.

Triángulos $CBD'$ $C'BD$ son similares debido a que $\angle CBD' = \angle C'BD $ $\frac{BC}{BC'}= \frac{BD'}{BD}$ (Que sigue a partir de la semejanza de los triángulos rectángulos $CBC'$$DD'B$.)

$\Rightarrow \angle BCE= \angle BC'E$ , por lo que cuadrilátero $CBEC'$ es cíclico y $\angle CEC'= \angle CBC'=90^\circ$.

Desde $DC' \parallel KM$ $CD' \parallel KN$ (debido a $KM$ $KN$ son los segmentos medios en los triángulos $CC'D$ y $CD'D$) , $\angle MKN=\angle CED = 90^\circ$ .