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Pares laxos para EDP lineales

Estoy intentando entender la discusión en torno a la ecuación (2.1) del artículo http://www.jstor.org/stable/53053. Dice que la EDP lineal M(x,y)q=0 con coeficientes constantes tiene el par Lax μx+ikμ=q y M(x,y)μ=0, donde k es cualquier número complejo y μ es una función.

La manera en la que suelo pensar en pares Lax es como operadores L y B tales que ˙L+[L,B]=0 es equivalente a la EDP original. Esto es equivalente a requerir que las ecuaciones de autovalor Lϕ=λϕ y ˙ϕ=Bϕ sean compatibles, donde λ es un parámetro fijo y ϕ es cualquier función. ¿Alguien puede explicar cómo se conecta esto con la discusión en el artículo? ¿Cuáles son L y B en el caso anterior?

¡Gracias!

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Tom Puntos 168

Esta respuesta puede llegar un poco tarde, pero parece que el autor está utilizando "par Lax" para referirse a un par de ecuaciones en μ, una de las cuales es independiente de t y la otra no lo es. Aquí, "independiente de t" significa lo mismo que en el enfoque tradicional del par Lax - Lϕ=λϕ donde λt=0, por lo que L no cambia con t. B,porotrolado,dependeinherentementedet,yaque\phi_t=B\phi$.

Más adelante en el papel (por ejemplo, en la ecuación 6.4), el autor regresa al concepto tradicional de un par Lax (aunque en forma de matriz: un par de matrices X y T tales que ϕx=Xϕ, ϕt=Tϕ, lo cual da la condición de compatibilidad XtTx+[X,T]=0 para el corriente conmutador [X,T]=XTTX).

Si eso no parece ayudar, el grupo que innovó el Método de Transformación Unificado tiene una colección muy buena de resultados y documentos relacionados con la técnica aquí: http://www.personal.reading.ac.uk/~smr07das/UTM/.

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