Pares laxos para EDP lineales

Question

Estoy intentando entender la discusión en torno a la ecuación (2.1) del artículo http://www.jstor.org/stable/53053. Dice que la EDP lineal $M(\partial_x,\partial_y)q=0$ con coeficientes constantes tiene el par Lax $\mu_x+ik\mu=q$ y $M(\partial_x,\partial_y)\mu=0$, donde $k$ es cualquier número complejo y $\mu$ es una función.

La manera en la que suelo pensar en pares Lax es como operadores $L$ y $B$ tales que $\dot{L}+[L,B]=0$ es equivalente a la EDP original. Esto es equivalente a requerir que las ecuaciones de autovalor $L\phi=\lambda \phi$ y $\dot{\phi}=B\phi$ sean compatibles, donde $\lambda$ es un parámetro fijo y $\phi$ es cualquier función. ¿Alguien puede explicar cómo se conecta esto con la discusión en el artículo? ¿Cuáles son $L$ y $B$ en el caso anterior?

¡Gracias!

Answer 1

Esta respuesta puede llegar un poco tarde, pero parece que el autor está utilizando "par Lax" para referirse a un par de ecuaciones en $\mu$, una de las cuales es independiente de $t$ y la otra no lo es. Aquí, "independiente de $t$" significa lo mismo que en el enfoque tradicional del par Lax - $L\phi=\lambda\phi$ donde $\lambda_t=0$, por lo que $L$ no cambia con $t$. $B, por otro lado, depende inherentemente de $t$, ya que $\phi_t=B\phi$.

Más adelante en el papel (por ejemplo, en la ecuación 6.4), el autor regresa al concepto tradicional de un par Lax (aunque en forma de matriz: un par de matrices $X$ y $T$ tales que $\phi_x=X\phi$, $\phi_t=T\phi$, lo cual da la condición de compatibilidad $X_t-T_x+[X,T]=0$ para el corriente conmutador $[X,T]=XT-TX$).

Si eso no parece ayudar, el grupo que innovó el Método de Transformación Unificado tiene una colección muy buena de resultados y documentos relacionados con la técnica aquí: http://www.personal.reading.ac.uk/~smr07das/UTM/.