es un campo de número, por definición, un subcampo de la $ \mathbb C $?

Question

He visto que algunos autores se defing el campo de número como un subcampo de la $ \mathbb C$ que es una extensión finita de los números racionales $ \mathbb Q $, mientras que algunos otros sin referering de números complejos $ \mathbb C$ . Creo que no necesitamos $ K$ a ser un subcampo de la $ \mathbb C$ en la definición. Así que, mi pregunta es la siguiente:

Es neceserily para definir $K$ como un subcampo de la $ \mathbb C$ o no ? Y si no ¿por qué ? Es cierto que si omitimos este en la definición, que, a continuación, $K$ va a llegar a ser un subcampo de la $ \mathbb C$?

Se me ocurrió esta pregunta, cuando vi que en el fin de definir el infinito de los números primos en un campo de número, a continuación, estos son determinados por las incrustaciones $ K \to \mathbb C $

Cualquier idea sería muy apreciada.

Gracias de antemano.

Answer 1

Por lo general hay más de una forma de considerar $K$ como un subcampo de la $\mathbb{C}$ - o, más precisamente, para incrustar $K$$\mathbb{C}$.

Por ejemplo, tome $K:=\mathbb{Q}[X]/(X^3-2)$, es decir, la extensión del campo de $\mathbb{Q}$ grado $3$ que contiene una raíz del polinomio $X^3-2$ (raíz que elegimos es irrelevante por ahora). A continuación, podemos incrustar $K$ a $\mathbb{C}$ mediante la asignación que fija abstracto de la raíz del polinomio para el complejo de número de $\sqrt[3]{2}$, que también es un número real, o el complejo de número de $\sqrt[3]{2}\cdot \exp(\frac{2\pi i}{3})$, que es un no-real del número complejo.

Así que hemos incorporado $K$ a $\mathbb{C}$ en dos disctinct maneras. Esta distinción habría sido "perdido", había que considerar $K$ como un subcampo de los números complejos desde el principio.

Answer 2

Un número de campo de carácter puramente abstracto definición, sin embargo, cada uno de ellos es isomorfo a un subcuerpo de $\mathbb C$. ¿Eso responde a tu pregunta?

Answer 3

En un campo de número es finito extensión de $\Bbb{Q}$. Como tal, siempre es isomorfo a un subcuerpo de $\Bbb{C}$: hay exactamente $[K:\Bbb{Q}]$ copias de $K$$\Bbb{C}$, correspondientes a los diferentes incrustaciones $K \to \Bbb{C}$.

Si bien podemos pensar de $K$ como un resumen de campo, por ejemplo, como un cociente de $\Bbb{Q}[X]$ (una cosa no puede ser contenida en $\Bbb{C}$: ¿por qué?), puede ser útil para identificar con uno de sus copias en $\Bbb{C}$, por ejemplo, para definir un valor absoluto en $K$. De hecho, cada par de conjugar incrustaciones (o una incrustación, si su imagen se encuentra en $\Bbb{R}$) da lugar a un diferente valor absoluto en $K$, el cual se extiende la costumbre de valor absoluto en $\Bbb{Q}$...

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La pregunta anterior se entiende como un ejercicio de pensamiento, aunque tal vez su formulación fue un poco apresurada. Un cociente de $\Bbb{Q}[X]$ es una colección de subconjuntos de a $\Bbb{Q}[X]$, que no son elementos de $\Bbb{C}$, al menos con las definiciones usuales de $\Bbb{C}$.

Cierto, podríamos definir el $\Bbb{C}$ como la realización de $K = \Bbb{Q}[X]/(X^2 + 1)$ con respecto a una extensión de $|\cdot|$ (en cuyo caso, por supuesto, $K$ estaría contenida en $\Bbb{C}$), aunque dudo que el OP es el uso de esta definición...