Digamos que $G={-2,2}$ y $a*b=\text{max}\{a,b\}$ . Necesito comprobar si se trata de un grupo y si lo es, entonces es abeliano o no y finito o no.
Bueno... primero, no estoy seguro de que esto sea un grupo. para $-2,2$ Siempre obtengo el mismo resultado, así que ¿puedo decir que hay un número de identidad?
Bien, hablemos de ello.
Un grupo $G$ necesita tres cosas.
Identidad : Debe haber un elemento $e\in G$ para que $e\star g=g\star e=g$ para todos $g\in G$ .
Inversos : Para cada $g\in G$ debe haber un elemento $g^{-1}\in G$ para que $g^{-1}\star g=g\star g^{-1}=e$ .
Asociatividad : Para $a,b,c\in G$ , $a\star(b\star c)=(a\star b)\star c$ .
Su ejemplo satisface $1$ y $3$ : $-2$ es una identidad, y la operación es claramente asociativa. Sin embargo, no existe una inversa para $2$ . Así que $G$ no es un grupo. Es un monoide Pero
Existe una identidad (con respecto a la operación definida): es $-2$ porque tenemos $\max\{-2,a\}=a$ para cualquier $a \in G$ .
Pero aún así, $(G, *)$ no es un grupo. La ley que se viola aquí es la existencia de elementos inversos: $2$ no tiene inversa, es decir, no existe tal $a \in G$ que $\max\{a,2\}=-2$ .
$*$ está cerrado el $\{-2, 2\}$ y está bien definida.
Asociativo : sí
Identidad : sí tenemos $-2$ es una identidad (con respecto a $*$ ): ya que $\max\{-2,g\}=g$ para cualquier $g \in G$ .
Cerrado por inversión : NO : $\;2 \in G$ no tiene inversa, es decir, no existe tal $g \in G$ que $\max\{g,2\}=-2$ .
El incumplimiento de cualquiera de las condiciones anteriores anula la perspectiva de $(G, *)$ ser un grupo. Dado que el cierre bajo inversión falla , $(G, *)$ no es un grupo.
Quizá no venga al caso, pero $*$ es conmutativo en $G$ y el grupo es finito, claramente (exactamente 2 elementos en $G$ ), por lo que realmente tiene un monoide finito y abeliano ¡!
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
