Funcional de la ecuación con conmutatividad

Question

Deje $f, g:\mathbb{N_0} \mapsto \mathbb{N_0}$ ser tal que

1. $f(1) >0, g(1)>0$
2. $f(g(n)) = g(f(n))$ $\forall n\in \mathbb{N_0}$
3. $f(m^2+g(n))=f(m)^2+g(n)$ $\forall m, n \in \mathbb{N_0}$
4. $g(m^2+f(n))=g(m)^2+f(n)$ $\forall m, n \in \mathbb{N_0}$

Demostrar que $f(n)=n$ $\forall n \in \mathbb{N_0}$

Lo que he hecho hasta ahora:

Conectar $m=n=0$ y el uso de $(3)$$(4)$, vemos que $$f(g(0))=f(0)^2+g(0)$$ and $$g(f(0))=g(0)^2+f(0)$$ Now using the commutativity of the functions we see that $$g(0)^2+f(0)=f(0)^2+g(0)$$ The hint in the book I'm referring says to use this and conclude $2g(0)^2=g(g(0))^2$ and therefore $g(0)=0$. Similarly $f(0)=0$. Ahora esta es la parte donde estoy confundido. Por favor explique ¿cómo debo proceder en este paso, como las otras partes de la prueba son claras para mí.

El libro que estoy usando es Funcional Ecuaciones: Un Enfoque de solución de Problemas por B. J. Venkatachala.

Gracias.

Answer 1

Tenga en cuenta que $$g(g(f(0)))=g(g(0)^2+f(0))=g(g(0))^2+f(0).$$ On the other hand, $$g(f(g(0)))=g(0^2+f(g(0)))=g(0)^2+f(g(0))=g(0)^2+g(f(0))=2g(0)^2+f(0).$$ Since $g$ and $f$ commute, these two expressions are actually equal, and so $g(g(0))^2=2g(0)^2$.