Demostrar que $(x-y)(y-z)(z-x) \leq \frac{1}{\sqrt{2}}$

Question

Si $x,y,z$ son reales y $x^2+y^2+z^2=1$, demuestran que, a$$(x-y)(y-z)(z-x) \leq \frac{1}{\sqrt{2}}.$$

Answer 1

Si $\prod\limits_{cyc}(x-y)<0$ es obvio.

Pero para $\prod\limits_{cyc}(x-y)\geq0$ es suficiente para probar que $$(x^2+y^2+z^2)^3\geq2(x-y)^2(x-z)^2(y-z)^2.$$

Ahora, vamos a $x\leq y\leq z$, $y=x+u$ y $z=x+v$.

Por lo tanto, tenemos que demostrar que $$(3x^2+2(u+v)x+u^2+v^2)^3\geq2(u-v)^2u^2v^2$$ o $$3x^2+2(u+v)x+u^2+v^2-\sqrt[3]{2(u-v)^2u^2v^2}\geq0,$$ para lo cual es suficiente para probar que $$(u+v)^2-3\left(u^2+v^2-\sqrt[3]{2(u-v)^2u^2v^2}\right)\leq0$$ o $$2(u^2-uv+v^2)\geq3\sqrt[3]{2(u-v)^2u^2v^2},$ $ , lo cual es cierto por AM-GM: $$2(u^2-uv+v^2)=2(u-v)^2+uv+uv\geq3\sqrt[3]{2(u-v)^2u^2v^2}.$$ Hecho!