Fácil derivación es a tener en cuenta:
I(z,w)=⟨ˉz|(a+a†)k|w⟩=(w+z)kezw
donde⟨ˉz|=⟨0|eza|w⟩=ewa†|0⟩, son coherentes estados, con a|w⟩=w|w⟩⟨ˉz|a†=z⟨ˉz|.
La diferenciación de este wrt z y w (n y m veces respectivamente) y, a continuación, configuración de z=w=0 los rendimientos de la cantidad de interés después incluidas las normalizaciones (asumiendo ⟨n|m⟩=δn,m):
⟨n|(a+a†)k|m⟩=1√n!m!∂nz∂mw(w+z)kezw|z=w=0
Usando el teorema del binomio, (z+w)k=∑kb=0(kb)zk−bwb, y también se ezw=∑∞a=01a!(zw)a,
⟨n|(a+a†)k|m⟩=1√n!m!k∑b=0(kb)∞∑a=01a!(∂nzzk+a−b)(∂mwwa+b)|z=w=0=1√n!m!k∑b=0(kb)∞∑a=01a!(n!δk+a−b,n)(m!δa+b,m)
El examen de la gama de la suma de dos aprendemos que ⟨n|(a+a†)k|m⟩=0 menos enteros N,M se puede encontrar:
n=k+N−M,m=N+M,N∈{0,1,2,…},M∈{0,1,2,…,k}
La no-desaparición de la expectativa de valores, por lo tanto:
⟨k+N−M|(a+a†)k|N+M⟩=k!√(N+M)!(k+N−M)!N!(k−M)!M!
Como una comprobación de coherencia tenga en cuenta que para k=0 el lado derecho es igual a δM,0, y por lo ⟨N|N⟩=1 como se esperaba.