¿Por qué la máxima atlas

Question

Esto ha sido en la parte de atrás de mi mente durante todo un semestre. Es posible que en mi estupidez, me estoy perdiendo de algo simple. Pero, aquí va:

Deje $M$ ser un topológica del colector. Ahora, aunque $C^\infty$-compatibilidad de gráficos no es transitiva, es cierto que si dos gráficos de la cola con todos los gráficos de un atlas, luego de que son compatibles el uno con el otro.

Dado esto, uno puede concebible definir una relación de equivalencia en el atlas de un colector, y luego considerar las clases de equivalencia. Pero, no lo hacemos. En lugar definimos una estructura diferenciable a ser la máxima atlas (que siendo única construida a partir de un determinado atlas estará en su clase de equivalencia).

¿Por qué hacemos esto (aparte de su discutible simplicidad)? ¿Por qué no tomar la clase de equivalencia de atlas en lugar de ser la estructura diferenciable?

Answer 1

Si $C$ es una de esas clases de equivalencia, y que la unión de todos los elementos de a $C$, se obtiene un atlas que también pertenece a $C$. Es en el hecho de que el máximo de atlas de $C$. Esto significa que la naturaleza fue lo suficientemente amable como para proporcionar una canónica de elección de los representantes en cada clase de equivalencia, y la usamos.

En la práctica, que un atlas ser máxima significa que nada de lo que podría ser una coordenada gráfico es un gráfico de coordenadas.

Answer 2

Se trata de la misma estética, como Bertrand Russell la célebre definición de $2$ como "la clase de todos los pares". Para ser un poco más específico, en la teoría de conjuntos y la lógica de algunas personas definen los números como conjuntos particulares, por ejemplo,$2 = \{ \varnothing, \{ \varnothing \} \}$. Pero hay infinitamente muchos) de otras posibles opciones, y desde una perspectiva determinada, esta falta de canonicity es preocupante. (Uno de mis favoritos de los ensayos en la filosofía de la matemática toma sobre este tema: Paul Benacerraf es Lo que los números no podía ser.) Por lo tanto Russell solución: defina $2$ (o el número cardinal asociado a cualquier conjunto $S$) como la clase adecuada de todos los conjuntos que tienen la misma cardinalidad como $S$.

El problema con esta definición es que para ser canónica, hemos dispuesto las cosas de modo que la definición formal de una posiblemente, simple, concreto objeto matemático es algo grande y complicado. Esto es exactamente lo que está sucediendo en la definición de un atlas como una máxima de la colección de coordinar los gráficos. El estudio de la topología diferencial es no el estudio de la máxima atlas más que la aritmética es el estudio de la correcta clases: no es fructífero intento de describir todos los elementos de un máximo de atlas, a lo que yo sé. (Gian-Carlo Rota escribió una breve pero convincente sobre este tema en su Indiscreta Pensamientos: llamó a la máxima atlas "cortés ficciones").

Hay otras formas de establecer los fundamentos de la asignatura que evitar hacer este tipo de definición. Por ejemplo, más moderno y elegante, enfoque a estructuras geométricas en un espacio que es a través de una gavilla de funciones en las que el espacio. También sería posible de una manera más categórica enfoque.