La evaluación de $\lim\limits_{h\to 0^+} \frac1h(\int_{0}^{\pi}\sin^{h}x~{\rm d}x-\pi)$

Question

La pregunta inicial es encontrar $$\lim_{n\rightarrow \infty}n^3\left(\tan\left(\int_{0}^{\pi}\sqrt[n] {\sin x}\,{\rm d}x\right)+\sin\left(\int_{0^+}^{\pi}\sqrt[n] {\sin x}\,{\rm d}x\right)\right),$$ y yo simplificar a ser $$\lim_{h\rightarrow0} \frac{1}{h}\left(\int_{0}^{\pi}\sin^{h}x\,{\rm d}x-\pi\right)=?$$

Estoy equivocado o alguna idea? $$\lim_{n\rightarrow \infty}n^3\left(\tan\left(\int_{0}^{\pi}\sqrt[n] {\sin x}{\rm d}x\right)+\sin\left(\int_{0}^{\pi}\sqrt[n] {\sin x}{\rm d}x\right)\right)\\= \lim_{h\rightarrow 0^+}\frac{1}{h^3}{\left(\tan\left(\int_{0}^{\pi} {\sin^h x}{\rm d}x\pi\right)-\sin\left(\int_{0}^{\pi} {\sin^h x}{\rm d}x\pi\right)\right)}\\=\frac{1}{2}\lim_{h\rightarrow 0^+}\frac{1}{h^3}\left({\int_{0}^{\pi}\sin^{h}x~{\rm d}x\pi}\right)^3$$

Answer 1

Su pregunta inicial es difícil que requiere desarrollo en serie de Taylor para la función Gamma y la respuesta parece ser $-(\pi\log 2)^3/2$.

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Considere la posibilidad de $$s_n=\int_{0}^{\pi}\sin^{1/n}x\,dx=\frac{\Gamma((n+1)/2n)\Gamma(1/2)}{\Gamma ((2n+1)/2n)}$$ and then we have $$\Gamma((n+1)/2n)=\Gamma(1/2)+\frac{1}{2n}\Gamma(1/2)\frac{\Gamma'(1/2)}{\Gamma (1/2)}+o(1/n)\\=\sqrt{\pi}-\frac{\sqrt{\pi}} {2n}(2\log2 +\gamma ) +o(1/n)$$ and $$\Gamma((2n+1)/2n)=1+\frac{1}{2n}\Gamma'(1)+o(1/n)=1-\frac{\gamma}{2n}+o(1/n)$$ and thus $$s_n=\pi\left(1-\frac{2\log 2+\gamma}{2n}+o(1/n)\right)\left(1+\frac{\gamma}{2n}+o(1/n)\right)$$ ie $$s_n=\pi+\frac{A} {n} +o(1/n)$$ where $A=-\pi\log 2$.

El deseado límite es igual al límite de $$n^3\sin(\pi-s_n)\cdot\frac{1-\cos (\pi-s_n)} {(\pi-s_n) ^2}\cdot(\pi-s_n)^2\cdot\frac{1}{\cos s_n} $$ which is same as the limit of $$-\frac{1}{2}n^3(\pi-s_n)^3$$ ie equal to $Un^3/2$.

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Alternativamente, se puede trabajar con el enfoque y obtener la deseada límite de $L^3/2$ donde $$L=\lim_{t\to 0}\int_{0}^{\pi}\frac{\sin^{t}x-1}{t}\,dx$$ and one can swap limits and integral sign (this needs justification) to get $$L=\int_{0}^{\pi}\log\sin x\, dx=-\pi\log 2$$

Answer 2

Usted puede utilizar Lebesgue Dominar teorema de convergencia.

Desde $[0,\pi]$ es compacto y tenemos $$\lim_{h\rightarrow0^+} \frac{\left(\sin^{h}x-1\right)}{h }=\frac{d}{dz}\left(\sin^z x\right)\Bigg|_{z=0} = \ln (\sin x)$$

Posteriormente, por medio del teorema del valor existe $z_h\in (0,h)$, $h>0$ tal que $$\frac{\left(\sin^{h}x-1\right)}{h } = \ln (\sin x) \cdot\sin^{z_h}x$$ que está delimitada por casi todos los $x\in (0,\pi)$ y todos los $h\in(0,1)$ por la función integrable $x\mapsto - \ln (\sin x)$

por lo tanto por Lebesgue teorema de convergencia Dominada tenemos, $$\lim_{h\rightarrow0^+} \frac{1}{h}\left(\int_{0}^{\pi}\sin^{h}x\,{\rm d}x-\pi\right)\\=\lim_{h\rightarrow0^+} \int_{0}^{\pi}\frac{\left(\sin^{h}x-1\right)}{h}\,{\rm d}x\\=\int_{0}^{\pi}\ln(\sin x)dx=-\pi\log 2$$ De hecho, Ver aquí Puede $ \int_0^{\pi/2} \ln ( \sin(x)) \; dx$ ser evaluados con "método"?

Answer 3

En el mismo espíritu que Paramanand Singh respuesta.

Mirando el problema de la $$L=\frac{1}{2n^3}\left({\int_{0}^{\pi}\sin^{n}(x)\,dx-\pi}\right)^3$$ a considerar que $$\int_{0}^{\pi}\sin^{n}(x)\,dx=\sqrt{\pi }\frac{ \Gamma \left(\frac{n+1}{2}\right)}{\Gamma \left(\frac{n+2}{2}\right)}\qquad \text{si} \qquad \Re(n)>-1$$ Taking logarithms and using the expansion of the gamma function around $n=0$ $$\log\left(\sqrt{\pi }\frac{ \Gamma \left(\frac{n+1}{2}\right)}{\Gamma \left(\frac{n+2}{2}\right)} \right)=\log (\pi )-n \log (2)+\frac{\pi ^2 n^2}{24}+O\a la izquierda(n^3\right)$$ Now, using $x=e^{\log(x)}$ y Taylor de nuevo $$\sqrt{\pi }\frac{ \Gamma \left(\frac{n+1}{2}\right)}{\Gamma \left(\frac{n+2}{2}\right)}=\pi\pi \log (2)\n+\frac{1}{2} \pi \left(\frac{\pi ^2}{12}+\log ^2(2)\right)n^2+O\a la izquierda(n^3\right)$$ haciendo $$\int_{0}^{\pi}\sin^{n}(x)\,dx\pi=-\pi \log (2)n+\frac{1}{2} \pi \left(\frac{\pi ^2}{12}+\log ^2(2)\right)n^2+O\a la izquierda(n^3\right)$$ $$\left({\int_{0}^{\pi}\sin^{n}(x)\,dx\pi}\right)^3=-\pi ^3 \log ^3(2)n^3+\frac{3}{2} \pi ^3 \log ^2(2) \left(\frac{\pi ^2}{12}+\log ^2(2)\right)n^4+O\a la izquierda(n^5\right)$$ y finalmente $$L=-\frac{1}{2} \pi ^3 \log ^3(2)+\frac{3}{4} \pi ^3 \log ^2(2) \left(\frac{\pi ^2}{12}+\log ^2(2)\right)n+O\a la izquierda(n^2\right)$$ que muestra el límite y cómo abordarla.

Editar

Para fines de ilustración, vamos a $n=10^{-k}$ y calcular $$\left( \begin{array}{ccc} k & \text{approximation} & \text{exact} \\ 1 & -3.707201481 & -3.947676102 \\ 2 & -5.017354674 & -5.020110534 \\ 3 & -5.148369993 & -5.148397954 \\ 4 & -5.161471525 & -5.161471805 \\ 5 & -5.162781678 & -5.162781681 \\ 6 & -5.162912693 & -5.162912693 \end{array} \right)$$

Answer 4

Para $h>-1,$ vamos $I(h) = \int_0^{\pi}[(\sin x)^h - 1]\, dx.$ ($h>-1$ asegura una integral convergente). Te voy a mostrar

$$\tag 1 I(h) = h\int_0^{\pi}\ln (\sin x)\, dx + O(h^2).$$

La forma de Lagrange del resto de Taylor muestra

$$e^u=1+u +r(u), \,\,\text {where } |r(u)|\le e^{|u|}u^2.$$

Así, por $x\in (0,\pi),$

$$(\sin x)^h = e^{h\ln (\sin x)} = 1 + h\ln (\sin x) + r_h(x),$$

donde $|r_h(x)|\le (\exp{|h\ln (\sin x)|})h^2\ln^2 (\sin x).$ vamos a hacer si nos muestran $\int_0^{\pi}|r_h(x)|\,dx = O(h^2).$

Suponga $|h|<1/2.$

$$\exp{|h\ln (\sin x)|} = \exp{\{|h|\ln (1/\sin x)\}} = \exp{\ln (1/\sin x)^{|h|}} = \frac{1}{(\sin x)^{|h|}}\le \frac{1}{(\sin x)^{1/2}}.$$

Para tal $h$ esto implica

$$|r_h(x)|\le h^2\frac{\ln^2 (\sin x)}{(\sin x)^{1/2}}.$$

La función de $x$ a la derecha es integrable sobre $(0,\pi),$ desde la singularidad en $0$ está en el orden de $(\ln x)^2/x^{1/2}$ $0;$ asimismo, por la singularidad en $\pi.$

Poner todo junto resulta $(1),$ y los rendimientos de la deseada respuestas a ambas preguntas.