Elegir un estado en el enfoque algebraico QM y QFT

Question

Considere la posibilidad de un sistema cuántico descrito por la $\ast$-álgebra $\mathscr{A}$. Deje $\omega : \mathscr{A}\to \mathbb{C}$ ser un estado. El debate sobre esta cuestión una elección algebraico de estado es una selección de $\ast$-representación de $\mathscr{A}$ sobre un espacio de Hilbert por medio de la GNS de la construcción, que genera un triple $(\mathscr{H}_\omega,\pi_\omega,\Omega_\omega)$.

Es un hecho que todas las matrices de densidad en $\mathscr{H}_\omega$ dar lugar a algebraica de los estados. A continuación definimos $\mathfrak{F}(\omega)$ la capa delgada de $\omega$ a ser el conjunto de todos los algebraica de los estados que pueden ser represneted como la densidad de las matrices en $\mathscr{H}_\omega$. Un estado se dijo entonces normal con respecto a $\omega$ si pertenece a $\mathfrak{F}(\omega)$.

Así que cuando se realice el GNS de la construcción y el trabajo con el espacio de Hilbert $\mathscr{H}_\omega$ nos limitamos a la normal de los estados con respecto a $\omega$ y olvidar por un momento a los demás.

Esto invita a dos preguntas:

1. Parece que, en contraste con la costumbre de QM, en el algebraicas enfoque que elija un estado por el matemático.

   En QM tomamos un observable, tiene una base. Escribimos un estado sobre esta base, y tiene el sentido de una distribución de probabilidad para las mediciones de los observables.

   Podemos preparar el sistema en un estado de medición. Así que hay, en un sentido, no podemos elegir el estado, por la forma en que el sistema estaba preparado y por el significado físico de los autoestados de características observables sabemos el estado inicial.

   Esto está en contraste con el enfoque algebraico, donde debemos elegir un estado para generar el GNS triple. Quiero decir, no parece ser un físico motivación para elegir uno en lugar de otro, y esto parece muy diferente de QM donde el acto de preparar el sistema de fuerzas de un estado inicial estado en nosotros.

   Entonces, ¿por qué en el algebraicas enfoque nos parece elegir un estado por el matemático, mientras que en QM parece que el estado en realidad proviene de la física?

   Cómo la realidad física del problema determina el estado en el enfoque algebraico, como de costumbre QM?

2. Más que eso, dado un $\omega$ genera el GNS triple $(\mathscr{H}_\omega,\pi_\omega,\Omega_\omega)$. Tiene toda una colección de otros estados de la $\mathfrak{F}(\omega)$ en el mismo espacio de Hilbert. Entonces, ¿por qué uno elige $\omega$ en lugar de cualquier otro $\omega'\in \mathfrak{F}(\omega)$? Yo no puedo ver una razón conectado a la física.

En ambas preguntas, la cuestión es que me estoy fallando a ver la conexión entre las matemáticas y la física.

Answer 1

El GNS la construcción genera una representación de la $C^*$ álgebra sobre un espacio de Hilbert. Sabemos que si partimos de un estado puro, llegamos a una representación irreducible, el cual describe un elemental sistema cuántico. Si partimos de otro estado, la representación describe otro sistema cuántico. Algunas de estas representaciones son unitarily equivalente, y los consideramos como equivalente, en el sentido físico. Por ejemplo, dos spin-$\frac{1}{2}$ sistema correspondiente a girar los ejes pertenecen a la spin-$\frac{1}{2}$ tipo de sistemas.

Es cierto que cuando el operador de álgebra es la de Heisenberg-Weyl álgebra, entonces todos los GNS representaciones son unitarily equivalente (La Piedra-teorema de von Neumann), pero esto es realmente una excepción. En general, tenemos muchos no equivalentes representaciones, cada parametrizadas por el estado empezamos. Esto puede suceder incluso en la mecánica cuántica, cuando nuestro álgebra es $\mathrm{Mat}(N)$.

Sobre el significado de las representaciones no equivalentes

Yo sé de dos enfoques que se le puede dar un significado físico a los de arriba no equivalentes representaciones

1. Rieffel del enfoque: Como se indicó anteriormente, las diferentes representaciones representan diferentes sistemas cuánticos. Rieffel investigó la posibilidad de que estas representaciones surgen de la cuantización de un clásico del espacio de fase. Sabemos que cuando nos cuantización de un sistema, se puede obtener un montón de no equivalentes los sistemas cuánticos. Así, en este enfoque el no equivalentes representaciones son en realidad no equivalentes cuantizaciones de algún sistema definido en un clásico del espacio de fases (generalmente un Veneno del colector).

2. Una segunda manera en que podemos interpretar la no equivalentes representaciones, es que podemos imaginar el espacio de (distinta) funcionales en el GNS construcción (o un subespacio de que) como un clásico (fase) de espacio por sí mismo. De esta manera llegamos a una parametrización sistema cuántico. Este enfoque es particularmente transparente cuando nuestras representaciones son coherentes espacio de la representación, entonces es realmente parametrizadas por un espacio de fase. Parametrizar los sistemas cuánticos tienen muchas aplicaciones modernas de quantum de control, a los aislantes topológicos.

Answer 2

La física habitual de elección para el estado preferido en relativista de la mecánica cuántica, al menos en el plano espacio-tiempo, es el vacío (o el estado del suelo). La idea es que haya algunos muy especiales propiedades físicas que lo hacen único, definido para una determinada teoría. Por supuesto, este no es siempre el caso. Primero de todo, debe ser un estado que es puro y invariante con respecto a la acción en el álgebra de la canónica de (anti)relaciones de conmutación de la orthochronous, propio grupo de Poincaré. Además, debe tratarse de un terreno del estado con respecto a la dinámica del sistema dado por el tiempo de traducciones (es decir, tiene que ser un estado fundamental para el Hamiltoniano). Para "encontrar" el vacío de estado para un determinado (interacción) la teoría cuántica de campos es muy difícil, y hay muy pocos resultados de ese tipo.

En la curva spacetimes generalmente no hay noción de un vacío, y otro tipo de distinguidos miembros se utilizan, tales como el (quasifree) Hadamard de los estados, también se define a través de las propiedades físicas (yo no, en absoluto un experto en campos cuánticos en curvas spacetimes, así que no voy a comentar más sobre esto).

Permítanme elaborar un poco más sobre la idea de la vacua en el enfoque algebraico, y cómo distinguir entre ellos el rendimiento no equivalentes y físicamente distintas representaciones.

Dado un clásico simpléctica espacio de $(X,\sigma)$ (de las funciones de prueba para la clásica de los campos, que son vistos como distribuciones), en la que podemos aplicar a la "cuantificación" (más precisamente, un definido adecuadamente la cuantización functor $\mathbb{W}_h$) para obtener el álgebra de la canónica de relaciones de conmutación $\mathbb{W}_h(X,\sigma)$. Supongamos que, como suele ser el caso, $(X,\sigma)$ llevar un simpléctica representación del grupo de Poincaré, o de cualquier otro grupo $G$ (que nos llame a la representación $(s_g)_{g\in G}$); a continuación, $\bigl(\mathbb{W}_h(s_g)\bigr)_{g\in G}$ es una representación del grupo de Poincaré sobre el quantum observables $\mathbb{W}_h(X,\sigma)$, la asignación de campos cuánticos en los campos cuánticos (como se requiere por la costumbre axiomas de la teoría cuántica de campos, por ejemplo, en el Gårding-Wightman formulación).

Ahora bien, es claro que tanto gratuitos como de la interacción de las teorías de la misma clase (por ejemplo, las teorías que describen escalar, no cargada, campos) tienen el mismo espacio de funciones de prueba, y por lo tanto el mismo álgebra abstracta de la canónica de relaciones de conmutación. ¿Cómo podemos, por tanto, distinguir entre una libre y una interacción de la teoría?

Por la elección del vacío.

Cualquier vacío es $G$-invariante, y Haag teorema nos dice que dados dos $G$-invariante de los estados (hay una condición técnica que es generalmente satisfechos por los estados físicos), cualquiera de ellos son iguales o distintos (en el sentido de que no es normal con respecto a la otra). Por lo tanto, a diferentes vacua (en realidad, $G$- invariante de los estados) no corresponde no equivalentes a las representaciones de la canónica de relaciones de conmutación, que corresponden a su vez a distintos sistemas físicos. Esto es en una mano reconfortante, y en el otro un poco molesto, porque implica que la libre y la interacción de los sistemas correspondientes para el mismo tipo de campo (por ejemplo, un campo escalar) tiene que ser descrita por no equivalentes representaciones de la misma canónica relaciones de conmutación.

El hecho es que mientras que las representaciones de libre teorías se entienden muy bien desde el punto de vista matemático, y son los llamados Fock representaciones, las representaciones de la interacción de las teorías (en otras palabras, la interacción de $G$-invariante (vacío) de los estados) son desconocidos para todos "interesante" relativista de la interacción de las teorías en $3+1$ dimensiones. Esta es una muy muy difícil problema abierto en la física matemática (hay un premio de Arcilla $\$ 1,000,000$ for solving this problem for a Yang-Mills theory), and cannot be investigated (as far as I know) using the algebraic approach, for the latter is too general. The few cases (in dimension $1+1$ and $2+1$) donde la interacción de vacío es conocido, se han estudiado hace mucho tiempo (años sesenta y setenta) por el famoso matemático físicos tales como Glimm, Guerra, Jaffe, Rosen y otros (y más recientemente por la medalla Fields Martin Hairer) utilizando el operador y Feynman integral de las técnicas. Sus resultados pueden ser traducidos en el formalismo algebraico, y así se define la interacción de vacío puede ser demostrado ser disjunta de la libre Fock vacío, pero el primero no puede ser caracterizado directamente por algebraicas consideraciones.