Utilizar la estimación ML para comprobar que $|\int_\gamma e^z -\bar{z}| \leq 57$.

Question

Utilizar la estimación ML para comprobar que $|\int_\gamma e^z -\bar{z}| \leq 57$ $\gamma$ Dónde está el límite del triángulo con vértices en $0, 3i, -4$.

Tengo que $L = 12$, la longitud del triángulo. Tengo problemas para calcular M para que ML = 57. Estaba tratando de seguir un ejemplo que nos dio mi profesor.

Por la desigualdad de triángulo $|e^z -\bar{z}| \leq |e^z| + |\bar{z}|$. Entonces $|e^z|= e^x \leq 1 $ desde $-4 \leq x \leq 0$. También $|\bar{z}| = \sqrt{x^2 + y^2} \leq 5$. Así que mi estimación $ |\int_\gamma e^z -\bar{z}| \leq 12(1+5) = 72$. ¿Dónde va mal mi pensamiento? ¿No estoy seguro de cómo estamos suponemos con 57?

Answer 1

Usted no tiene que afinar la estimación demasiado - sólo ser más cuidadoso que el trivial de la estimación. Una primera, fácil cosa a tener en cuenta es que el $|\overline{z}| \le 4$ siempre - mira en el triángulo. Esto ya mejora la estimación de$72$$60$.

Usted puede mejorar aún más mediante la consideración de los segmentos por separado. En la parte vertical de$0$$3i$, usted tiene $|\overline{z}| \le 3$ en lugar de $4$. Este ya le ahorra la $3$ necesario para ir de$60$$57$, y es lo suficientemente bueno.

Por supuesto, $57$ está lejos de ser la óptima estimación. Usted puede jugar a este juego en intervalos más pequeños. En el segmento de $[0, i]$, usted tiene la estimación de $|e^z + \overline{z}| \le 2$, lo que nos lleva a la $55$, y en $[i, 2i]$ la estimación de $|e^z + \overline{z}| \le 3$ nos a $54$. Usted podría seguir adelante si quieres.