Tengo un regaño, cuestión básica en cuanto a los límites entre los elementos del conjunto y la composición de la regla (o de operación) en la definición de un grupo:
En matemáticas, un grupo es una estructura algebraica que consta de un conjunto de elementos equipado con una operación que combina dos elementos para formar un tercer elemento...
Por ejemplo, en un número finito de grupo cíclico de orden $n=4,$ es decir $\mathbb Z_4=\{0,1,2,3\}$ el elemento $1$ mueve todos los elementos del conjunto por $1,$, mientras que el elemento $2$ mueve por $2,$ etc.
Ahora en la tabla de composición, como un ejemplo, $1\;\circ\;3$ se mueven los elementos de la primera por $1,$ y, posteriormente, por $3,$, resultando en no mover $(\mathbb Z/ 4\mathbb Z).$
El punto es que el "efecto" (me gustaría decir "acción", pero la palabra se toma para significar la acción de un grupo en un conjunto) de la operación binaria es ya de alguna manera dentro de los elementos reales.
En otras palabras, los elementos del conjunto no son inertes o pasivo. Ellos no parecen estar a la espera de la definición de la operación - que llevan con ellos la generación de "acción", que parece que se superponen o reemplazar la función de la operación binaria. Al menos en este ejemplo, no parecen estar en necesidad de una definición explícita de la composición de la regla.
¿Hasta qué punto son los elementos "activos", y ya intrínsecamente la idea de la operación binaria? Es la composición implícita en el conjunto de elementos, relegando a la tabla de composición de un formalismo? O no dependen del tipo específico de grupo?
Otro ejemplo: ¿Qué más necesita la definición en el diedro grupo $D_3$ cuando los elementos están en "rotación" y "reflexión", que es $S=\{e,r,r^2,rf,r^2f\}?$
Por favor, ser indulgente con terminológica desaires de mano para transmitir el problema conceptual. Tal vez la fijación de la terminología puede aclarar la cuestión.
