Probar que este determinante de $3 \times 3$ desaparece

Question

<blockquote> <p>Que $a,b,c,d,e,f \in \mathbb{R}$. Probar eso $$\begin{vmatrix} (a+b)de-(d+e)ab & de-ab & a+b-d-e \\ (b+c)ef-(e+f)bc & ef-bc & b+c-e-f \\ (c+d)fa-(f+a)cd & fa-cd & c+d-f-a \end{vmatrix} = 0 $</p> </blockquote> <p>He intentado escribir el determinante como $$\begin{vmatrix} x_1x_3-x_2x_4 & x_3-x_4 & x_1-x_2 \\ y_1y_3-y_2y_4 & y_3-y_4 & y_1-y_2 \\ z_1z_3-z_2z_4 & z_3-z_4 & z_1-z_2 \end{vmatrix} $$ donde $x_1=a+b, x_2=d+e,x_3=de, x_4=ab$ y los cíclicos se definen semejantemente. Pero ahora tengo las variables de $12$ $6$, por lo que dependen el uno del otro de alguna manera. He intentado ampliarla, pero no se ve demasiado bien.</p>

Answer 1

Las combinaciones de $a+b$ $ab$ hacer pensar de polinomios cuadráticos con la raíz de $a,b$. La forma en que voy a usar es diciendo que los puntos de $(a,a^2)$ $(b,b^2)$ pertenecen a la recta dada por la ecuación $y=(a+b)x-ab$.

Considere la recta que pasa por a$(a,a^2)$$(b,b^2)$. Vamos a determinar donde se encuentra la línea que pasa a través de$(d,d^2)$$(e,e^2)$. Para eso, tenemos que resolver el sistema de ecuaciones lineales $$ \left\{ \begin{aligned} -(a+b)x+y&=-ab,\\ -(d+e)x+y&=-de. \end{aligned} \right. $$ Por la regla de Cramer, obtenemos las coordenadas del punto de intersección $$(x_{ab,de},y_{ab,de})=\left(\frac{-ab+de}{-a-b+d+e},\frac{(a+b)de-(d+e)ab}{-a-b+d+e}\right).$$

Fórmulas similares presionado para$(x_{bc,ef},y_{bc,ef})$$(x_{cd,af},y_{cd,af})$. Su determinante de la identidad, si se multiplica la última columna por $(-1)$ y luego se divide cada fila por su último elemento, puede ser escrito como $$ \det\begin{pmatrix}x_{ab,de}&y_{ab,de}&1\\ x_{bc,ef}&y_{bc,ef}&1\\ x_{cd,af}&y_{cd,af}&1\end{pmatrix}=0, $$ que tiene iff los puntos $(x_{ab,de},y_{ab,de})$, $(x_{bc,ef},y_{bc,ef})$, y $(x_{cd,af},y_{cd,af})$ son colineales. Desde $(a,a^2)$,...,$(f,f^2)$ son de la misma quadric (la parábola $y=x^2$), esto se deduce a partir del teorema de Pascal (https://en.wikipedia.org/wiki/Pascal%27s_theorem).

Comentario: se puede decir que a veces no podemos dividir por el último elemento de la fila, ya que puede desaparecer. Básicamente, la mejor manera de pensar acerca de esto es decir que nos lo acaba de probar que el determinante se desvanece para $a,\ldots,f$ genérico (donde los últimos de la fila de elementos no desaparecen), y para el resto se sigue por la continuidad (el determinante es un polinomio en las variables, por lo que una función continua).