Ejercicio de análisis funcional de Peter Lax

Question

Dejemos que $X$ denotan un espacio de Banach, $A$ un mapa lineal acotado: $X \to X$ . Sea $\{M_{v}\}$ sea una colección de mapas acotados de $X$ a sí mismo de tal manera que, $\forall x\in X,$ $AM_{v}x=M_{v}Ax$ (Es decir, el mapa $A$ conmuta con cada $M_{v}$ ). Demostrar que A conmuta con todo mapa lineal acotado perteneciente al tramo lineal cerrado del conjunto $\{M_{v}\}$ en la topología débil.

En un punto anterior del libro define:

La topología débil en $L(X,U)$ es la topología generada por las funciones de la forma $M \to Mx$ , $\forall x\in X$ (es decir, la topología más débil en la que todos esos mapas lineales son continuos).

Soy capaz de demostrar que el resultado es cierto en el tramo lineal (Sólo hay que utilizar la linealidad). ¿Pero cómo puedo extenderlo a la clausura débil? Ni siquiera sé si esta topología es primero contable, o secuencial (Si es así, también puedo hacerlo). Y no he sido capaz de demostrarlo o dar un contraejemplo.

Answer 1

Dejemos que $\phi \in X^*$ entonces $\phi_1,\phi_2$ definido por $\phi_1(M) = \phi(AM), \phi_2(M) = \phi(MA)$ también están en $X^*$ .

Vemos que $(\phi_1-\phi_2)(M) = 0$ para todos $M \in \operatorname{sp} \{ M_v\}$ .

De ello se desprende que $(\phi_1-\phi_2)(M) = 0$ para todos $M \in \overline{\operatorname{sp}^w} \{ M_v\}$ (cierre débil).

De ello se deduce que $AM-MA = 0$ .

Nota : Existe una prueba más sencilla basada en el hecho de que un conjunto convexo es fuertemente cerrado si está débilmente cerrado.

Anexo : Si $M \in \overline{\operatorname{sp}^w} \{ M_v\}$ , entonces si $C$ es cualquier conjunto débilmente cerrado que contiene $\operatorname{sp} \{ M_v\}$ Debemos tener $M \in C$ .

El conjunto $\ker (\phi_1-\phi_2)$ es un conjunto débilmente cerrado que contiene $\operatorname{sp} \{ M_v\}$ , por lo que $\overline{\operatorname{sp}^w} \{ M_v\} \subset \ker (\phi_1-\phi_2)$ .

Más cosas : Dado que la topología débil se define de forma ligeramente diferente, adaptamos el enfoque anterior:

Elija $x$ y definir $\phi_{x}(M) = (AM-MA)x$ . Entonces $\ker \phi_x$ es débilmente cerrado para todo $x$ y así $C=\cap_x \ker \phi_x$ es débilmente cerrado. Vemos que $M \in C$ si $AM=MA$ .

Vemos que $M_v \in C$ para todos $v$ Por lo tanto $\overline{\operatorname{sp}^w} \{ M_v\} \subset C$ .