Transformada de Laplace del tiempo de golpeo del movimiento browniano con deriva

Question

Tengo el proceso de $X_t = W_t + \mu t$ donde $W_t$ es el movimiento Browniano y el $\mu\in\mathbb{R}$. Yo también tengo el golpear de tiempo $$\tau = \inf\{t\geq 0: X_t = a \text{ or } X_t = b \}$$ donde $a < 0 < b$.

Quiero calcular $E[e^{-\lambda\tau}]$ arbitrarias $\lambda > 0$.

Supongo que una manera de hacerlo es cambiar a la medida en que $X_t$ es el movimiento Browniano, pero que daría lugar a una integral que involucra la distribución conjunta de movimiento Browniano, que su máximo y mínimo. Quiero evitar ese camino y en lugar de encontrar una martingala basado en la técnica.

Siguiendo la técnica en un caso similar, donde el golpear de tiempo se define en términos de un único límite (no dos), he definido $$M_t := e^{\theta X_t - \lambda t}$$ para $\theta$ elegido para hacer la $M$ una martingala. Esta función resultó no ser lo suficientemente restrictivo para mis propósitos, ya que sólo me hizo tan lejos como para calcular la probabilidad de que un límite es alcanzado antes de que la otra.

Entonces, me fijé en el caso de que golpear el tiempo se define en términos de dos fronteras para el movimiento Browniano sin deriva. En ese caso, la martingala para trabajar con es $$M_t = f(t)\cosh\left(\theta W_t - \theta\frac{a+b}{2}\right)$$ para algunos $f(t)$ elegido para hacer la $M$ una martingala.

Desafortunadamente, la definición de $$M_t = f(t)\cosh\left(\theta X_t - \theta\frac{a+b}{2}\right)$$ does not get me far as this cannot be a martingale by any choice of a deterministic function $f$.

Así que parece que lo que necesito es alguna función que sólo contiene $X$ (y algunas constantes) y devuelve el mismo valor conocido en ambas fronteras. Además, esta función probablemente debe ser monótona (o limitado) para que yo pueda aplicar una adecuada teorema de convergencia. Puedo multiplicar esta función por otra función determinista (o añadirlos juntos, pero nada demasiado complicado) para hacer que el proceso de una martingala. Esto es donde estoy. Consejos sobre cómo proceder a partir de este punto o diferentes enfoques son apreciados.

Answer 1

Creo que se puede resolver a través de la cadena de Markov técnicas. Deje $X$ $\tau$ ser como dado (o, más generalmente, $X$ puede ser cualquier elíptica de difusión). Indicar el generador de $X$$L_X$. Definir una función $f:[a,b] \to \Bbb R$ mediante el envío de $x \mapsto E_x[e^{-\lambda \tau}].$ pretendemos que $f$ satisface una ODA: $L_X f- \lambda f=0$$[a,b]$, con condiciones de contorno de la $f(a)=f(b)=1$.

Para probar esto, se define un nuevo espacio de estado $S=[a,b] \cup \{(*)\}$ donde $(*)$ es de la "muerte del estado" disjunta de a $[a,b]$. Definimos la $S$valores de proceso de Markov $X'_t:=X_t \cdot 1_{\{t < \tau\}} + (*)\cdot 1_{\{t \geq \tau\}}$. En otras palabras, el proceso de $X'$ es sólo el proceso $X$ que es "asesinado" al golpear el límite. Este nuevo proceso tiene un generador de $L$ que es sólo $L_X$ con condiciones de contorno de Dirichlet en $\{a,b\}$. Denotamos por a $S(t)$ de los asociados semigroup.

Antes de probar la reclamación, recordemos la noción de resolvents: para $\lambda>0$, se tiene un operador acotado $R_{\lambda}: C(S) \to C(S)$ $R_{\lambda}f = (\lambda I-L)^{-1}f = \int_0^{\infty} e^{-\lambda t} S(t)f \;dt.$

A continuación, vamos a hacer la simple observación de que para cualquier variable aleatoria $Y$ apoyado en $[a,b]$ y cualquier $C^1$ función de $u$, se tiene (por el teorema de Fubini) que $E[u(Y)] = u(a)+ \int_a^b u'(y) P(Y \geq y)dy$. Por lo tanto, tenemos el siguiente para todos $x \in S$: $$f(x)-1 = E_x[e^{-\lambda \tau}] -1 = -\int_0^\infty \lambda e^{-\lambda x} P_x(\tau \geq t) dt \\= -\int_0^\infty \lambda e^{-\lambda x} P_x(X'_t \in [a,b]) dt =-\int_0^\infty \lambda e^{-\lambda x} S(t)1_{[a,b]}(x) dt= -\lambda R_{\lambda} (1_{[a,b]})(x).$$ This shows that $f-1=-\lambda R_{\lambda}(1_{[a,b]})$ is in the domain of $L$. Now taking $\lambda I-L$ of both sides, we find that $(\lambda-L)(f-1) = -\lambda \cdot 1_{[a,b]}$, which indeed shows that $\lambda f-L_X f=0$ on $[a,b]$, lo que demuestra la demanda.

En este caso específico $(X_t=B_t+\mu t)$,$L_X=\frac{1}{2}\partial_x^2+\mu \partial_x$. En consecuencia, $f$ satisface el ODE $f''+2\mu f'-2\lambda f=0$ en el intervalo de $(a,b)$. Esto puede ser resuelto como $$f(x) = e^{-\mu x} \big( c_1 e^{\sqrt{\mu^2+2\lambda}\;x} +c_2e^{-\sqrt{\mu^2+2\lambda}\;x} \big),$$where $c_1,c_2$ may be determined by the boundary conditions $f(a)=f(b)=1$.