Proyecciones de distribuciones uniformes $\mathbb{R}^3$ el vector unitario tiene una distribución uniforme

Question

Mi pregunta gira en torno a la siguiente propiedad:

Dejemos que ${\bf u} \in \mathbb{R}^3$ sea un vector aleatorio con distribución uniforme en la esfera unitaria tridimensional. Entonces la proyección sobre cualquier vector unitario dado $\bf v \in \mathbb{R}^3$ $$X = {\bf u}^\mathrm{T} {\bf v}$$ tiene una distribución uniforme $$X \sim \mathcal{U}(-1,+1).$$

Esto se puede demostrar fácilmente argumentando primero que $X$ tiene la misma distribución que cualquier proyección canónica de $\bf u$ debido a la simetría y luego empleando algo de geometría [lo que hice aquí en (12)] : para $x\in[-1,+1]$ escriba la FCD de $F_X(x)$ como la relación de las superficies entre una tapa de altura $1+x$ de la esfera unitaria y de toda la esfera unitaria. Sorprendentemente, la superficie de la tapa es lineal en su altura $x$ y se obtiene $$F_X(x) = \frac{2\pi(1+x)}{4\pi} = \frac{1+x}{2}$$ que es una distribución uniforme en $[-1,+1]$ y termina la prueba.

Mi problema: Esto parece una propiedad muy atractiva del espacio tridimensional. Es tan sencilla que seguramente miles de matemáticos se han topado con ella. Sin embargo, no encuentro otras fuentes o material sobre ella. Utilizo mucho esta propiedad en mi trabajo y quiero toda la información posible sobre ella, además de una fuente matemática sólida. Estoy seguro de mi prueba y por supuesto verifiqué todo numéricamente, pero no me gusta ser autorreferente en algo tan básico.

Mi pregunta: ¿Podría facilitarme lo siguiente?

• Una o más fuentes buenas en la propiedad.
• Toda la información e intuición fructífera posible al respecto.

¡Muchas gracias!

Apéndice: Aquí hay más información que podría encender la discusión. Para lo mismo en $\mathbb{R}^1$ se obtiene una distribución uniforme discreta en $x \in \{-1,+1\}$ . En $\mathbb{R}^2$ se obtiene el PDF $f_X(x) = 1 /(\,\pi\sqrt{1-x^2}\,)$ con postes en $x = -1$ y $x = +1$ . Esto demuestra: cuanto más baja es la dimensión, más probable es que $\bf u$ golpea una dirección similar a $\bf v$ . Para $\mathbb{R}^N$ la masa probable de $f_X(x)$ se concentra cada vez más cerca de $0$ con el aumento de $N$ porque los vectores aleatorios de alta dimensión tienden a ser ortogonales.

Answer 1

Esto fue demostrado por Arquímedes y se ha conocido como "teorema de la caja de sombreros de Arquímedes". Demostraron que si una esfera está inscrita en un cilindro vertical, el área de la esfera entre dos planos horizontales es la misma que el área del cilindro entre esos dos planos; esto es una reformulación de lo que has dicho. Arquímedes dio dos argumentos: uno en El método de los teoremas mecánicos basado en su razonamiento físico de la "ley de la palanca", y uno en Sobre la esfera y el cilindro mediante la estimación del volumen de las secciones de las cáscaras esféricas, que él consideraba más rigurosa. Desde un punto de vista moderno es un simple ejercicio de cálculo, véase por ejemplo aquí .

He aquí tres generalizaciones que pueden resultarle interesantes:

• Si $\mathbf x$ tiene la distribución uniforme en la esfera unitaria en $\mathbb R^n,$ entonces $(x_1,\dots,x_{n-2})$ tiene la distribución uniforme en la bola unitaria en $\mathbb R^{n-2}.$ La prueba de cálculo es casi exactamente la misma. (Este resultado tiene su propio hilo en mathoverflow .)

• Como mencionó Greg Kuperberg en ese hilo, el mapa de alturas $S^2\to [-1,1]$ es un ejemplo del mapa de momento de una variedad simpléctica tórica. Para las variedades simplécticas tóricas generales existe un mapa que preserva la medida del "politopo de momentos" con la distribución uniforme, la medida de Duistermaat-Heckman.

• Se puede sustituir el cilindro vertical por un cono, y los planos horizontales por esferas centradas en el vértice del cono. Véase "Una generalización del teorema de la caja de sombreros de Arquímedes", de De Silva, http://www.jstor.org/stable/3621436

Answer 2

Esta propiedad es una consecuencia inmediata del hecho de que la "proyección horizontal" de $S^2$ en un cilindro de altura $2$ envolvente $S^2$ a lo largo del ecuador es rotacionalmente simétrico con respecto al $z$ -eje y preservación del área.

Answer 3

Una pista:

En esta respuesta se muestra que el área de la región verde en la esfera es la misma que el área de la región roja en el cilindro. El área de la región roja en el cilindro es $2\pi$ por el radio del cilindro por la longitud de la proyección de la región verde o roja sobre el eje del cilindro.