¿Estoy usando la sustitución correcta para resolver esta ecuación diferencial?

Question

Quiero encontrar la solución general de lo siguiente:

ps

Sustituyo$$\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x+y+2}$ y obtuve el siguiente$u = x + y+2$.

Entonces obtuve una expresión como tal:$du/dx = 1 + dy/dx$ $

Pero a partir de esta expresión, parece que no puedo separarlo más. Usar un factor de integración tampoco parece funcionar. Tampoco tiene la forma de una ecuación de bernoulli, debido al$$\frac{du}{dx} = 2 - \frac{x+2}{u}$.

¿Cómo debo proceder?

Answer 1

Sugerencia ... puedes escribir la ecuación diferencial al revés, es decir,$$\frac {dx}{dy}=\frac xy+1+\frac 2y$ $

Ahora usa un factor de integración ya que tienes$$\frac{dx}{dy}-\frac 1yx=1+\frac 2y$ $

Answer 2

Usted puede trabajar a través de la transformación de la dada ODA a una ecuación exacta :

$$\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x+y+2} \Rightarrow y'(x)(x+y+2) -y = 0$$

Si dejas $R(x,y) = -y$$S(x,y) = x+y+2$, entonces usted puede ver que esto es no es una ecuación exacta, ya que :

$$\frac{\partial R}{\partial y} \neq \frac{\partial S}{\partial x}$$

Vamos a encontrar un factor de integración $μ(y)$, de tal manera que la educación a distancia :

$$\frac{\partial μ R}{\partial y} + \frac{\partial μS}{\partial x} = 0$$

es exacto.

Esto significa, que :

$$\frac{\partial μR}{\partial y} = \frac{\partial μS}{\partial x}\Rightarrow-\bigg(y\frac{dμ(y)}{dy}\bigg)-μ(y) =μ(y) \Rightarrow \frac{\frac{\partial μ(y)}{\partial y}}{μ(y)} = -\frac{2}{y} \Rightarrow \ln(μ(y))=-2\ln(y) \Rightarrow μ(y) = \frac{1}{y^2}$$

Por lo tanto, ahora se multiplican ambos lados de la expresión inicial por $μ(y)$ :

$$-\frac{1}{y(x)} + \frac{(x+y(x)+2)\frac{dy(x)}{dx}}{y^2(x)}=0 \Rightarrow \frac{dg(y)}{dy} = \frac{y+2}{y^2} \Rightarrow g(y) = \int \frac{y+2}{y^2}dy = -\frac{2}{y} +\ln(y)$$

Y por último, la solución para $y$, producirá un no que es común el resultado, como el Producto-la función de registro tomarán parte :

$$y(x) = \frac{x+2}{W\bigg(\frac{x+2}{e^{c_1}}\bigg)} \Rightarrow y(x) = \frac{x+2}{W(c_1(x+2))}$$

Por supuesto, si usted no está familiarizado con el $W$ función, usted puede parar en el paso de integración, que aún se considera una solución a la educación a distancia y, por supuesto, 100% correcto.

El muestreo de un poco más de los valores iniciales $y(0)$ para algunas trayectorias, va a producir la siguiente trayectoria espectro de la familia de las soluciones :

$\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad$

Answer 3

Para resolver $$ \ frac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d} x} = \ frac {y} {x + y +2} $$ podemos sustituir$u=x+2$: $$ \ frac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d} u} = \ frac {y} {u + y} $$ Entonces la manipulación simple da$y\,\mathrm{d}u-u\,\mathrm{d}y=y\,\mathrm{d}y$; por lo tanto, $$ \begin{align} \mathrm{d}\frac uy &=\frac{y\,\mathrm{d}u-u\,\mathrm{d}y}{y^2}\\ &=\frac{\mathrm{d}y}y\\[6pt] &=\mathrm{d}\log(y) \end {align} $$ Resolviendo rendimientos $$ x +2 = y (c + \ log (y)) $$