Esto puede ser modelado como el de la cadena de Markov con los estados almacenar las cantidades de los pasos de cada color ha tomado. Escribir estas como tuplas $(R, Y, B)$. No necesitamos todos los estados posibles, pero en lugar de tener tres estados $(1,*, *), (*,2,*)$ $(*, *, 3)$ que será absorbente (una vez que se alcanza, la carrera y el ganador es el "cuyo estado" hemos alcanzado. Todos los estados son
- $(0, 0, 0)$ (el estado inicial)
- $(0, 1, 0)$
- $(0, 0, 1)$
- $(0, 1, 1)$
- $(0, 0, 2)$
- $(0, 1, 2)$
- $(1, *, *)$ (win estado para $R$)
- $(*, 2, *)$ (win estado para $Y$)
- $(*, *, 3)$ (win estado para $B$)
Las probabilidades de transición se $\frac{1}{6}$ para el incremento de la $R$-valor, $\frac{2}{6}$ para el incremento de la $Y$-valor y $\frac{3}{6}$ para el incremento de la $B$-valor. La absorción de los estados se han auto-transición con una probabilidad de $1$.
La pregunta puede ser resuelto con la teoría de finito de absorción de las cadenas de Markov mediante la formación de la Matriz Fundamental y el cálculo de la matriz de Absorción de Probabilidades. Para referencia ver las Cadenas de Markov y la sección 11.2 en la absorción de las cadenas.
EDITAR:
La matriz de transición es (los estados indexadas en el orden dado)
$$\left[
\begin{array}{cccccc|ccc}
0 & \frac{2}{6}& \frac{2}{6} & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{6} & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & \frac{3}{6} & 0 & 0 & \frac{1}{6} & \frac{2}{6} & 0 \\
0 & 0 & 0 & \frac{2}{6} & \frac{3}{6} & 0 & \frac{1}{6} & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{3}{6} & \frac{1}{6} & \frac{2}{6} & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{2}{6} & \frac{1}{6} & 0 & \frac{3}{6} \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{6} & \frac{2}{6} & \frac{3}{6} \\
\hline \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{array}
\right]
$$
Los bloques se $Q$ en la parte superior izquierda, $R$ en la parte superior derecha. Calcular la matriz fundamental
$$N=(I-Q)^{-1}$$
Y, a continuación, las probabilidades de que la cadena ser absorbido a un particular estado de absorción están dadas por la matriz
$$B=NR.$$
La cadena inicia en el estado indexado $1$, por lo que la primera fila de $B$ le dará las probabilidades.
Calcular (con ordenador) que obtengo:
$$N = \frac{1}{12}
\begin{pmatrix}
12 & 4 & 6 & 4 & 3 & 3 \\
0 & 12 & 0 & 6 & 0 & 3 \\
0 & 0 & 12 & 4 & 6 & 4 \\
0 & 0 & 0 & 12 & 0 & 6 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 12 & 4 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 12 \\
\end{pmatrix}
$$
Y
$$
R = \begin{pmatrix}
\frac{1}{6} & 0 & 0 \\
\frac{1}{6} & \frac{2}{6} & 0 \\
\frac{1}{6} & 0 & 0 \\
\frac{1}{6} & \frac{2}{6} & 0 \\
\frac{1}{6} & 0 & \frac{3}{6} \\
\frac{1}{6} & \frac{2}{6} & \frac{3}{6} \\
\end{pmatrix}
$$
Así que la primera fila de $B$ es
$$ \begin{pmatrix}
\frac{4}{9} & \frac{11}{36} & \frac{1}{4}
\end{pmatrix}
$$
(EDIT2: he tenido $9$ en el denominador de antes, donde no debería ser $6$. Ahora es fijo).