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Probabilidad de resolución de problemas

Rojo, amarillo y azul, los contadores se colocan sobre un tablero como se muestra, y que 'raza' para el final (F) moviendo hasta un cuadrado en un tiempo. Los movimientos son determinados mediante la selección de una bola al azar de una bolsa que contiene una perla roja, dos granos amarillos y tres perlas azules. Después de que el color de la bola que ha sido es de señalarse, que el cordón se devuelve a la bolsa antes de la próxima perla es recogido. La carrera tan pronto como uno de los contadores tierras en el cuadrado marcado F. Hallar la probabilidad de ganar para cada uno de los contadores.

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Hasta ahora, sólo he sido capaz de averiguar los fundamentos de la probabilidad de red>probabilidad de amarillo>probabilidad de azul. Mi estimación es que:

La probabilidad de rojo ganancia = 4/9

La probabilidad de amarillo ganar 1/4

La probabilidad de azul de ganancia = 11/36

¿Ustedes qué piensan?

7voto

user299698 Puntos 96

Usted es casi correcta. Intercambia las probabilidades de Azul y Amarillo (y por lo tanto la probabilidad de que el Amarillo es MENOR que la probabilidad de Azul).

Azul gana si y sólo si la secuencia de recogidas de perlas es uno de los siguientes: $BBB$, $YBBB$, $BYBB$, o $BBYB$. Así que la probabilidad de que el Azul gana es $$\left(1+\frac{3}{3}\right)\cdot\frac{1}{2^3}=\frac{1}{4}.$$

Amarillo gana si y sólo si la secuencia de recogidas de perlas es uno de los siguientes: $YY$, $YBY$, $BYY$, $YBBY$, $BYBY$, o $BBYY$. Así que la probabilidad de que el Amarillo gana es $$\left(1+\frac{2}{2}+\frac{3}{2^2}\right)\cdot \frac{1}{3^2}=\frac{11}{36}.$$

Finalmente el Rojo gana con probabilidad $$1-\frac{1}{4}-\frac{11}{36}=\frac{4}{9}.$$ Comprobar, tenemos que el Rojo gana si y sólo si la secuencia de recogidas de perlas es uno de los siguientes: $R$, $YR$, $BR$, $YBR$, $BYR$, $BBR$, $YBBR$, $BYBR$, o $BBYR$. Por lo que la probabilidad de que el Rojo gana es $$\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{2^2}+\frac{2}{2\cdot 3}+\frac{3}{2^2\cdot 3}\right)\cdot\frac{1}{6}=\frac{4}{9}.$$

4voto

ploosu2 Puntos 2403

Esto puede ser modelado como el de la cadena de Markov con los estados almacenar las cantidades de los pasos de cada color ha tomado. Escribir estas como tuplas $(R, Y, B)$. No necesitamos todos los estados posibles, pero en lugar de tener tres estados $(1,*, *), (*,2,*)$ $(*, *, 3)$ que será absorbente (una vez que se alcanza, la carrera y el ganador es el "cuyo estado" hemos alcanzado. Todos los estados son

  1. $(0, 0, 0)$ (el estado inicial)
  2. $(0, 1, 0)$
  3. $(0, 0, 1)$
  4. $(0, 1, 1)$
  5. $(0, 0, 2)$
  6. $(0, 1, 2)$
  7. $(1, *, *)$ (win estado para $R$)
  8. $(*, 2, *)$ (win estado para $Y$)
  9. $(*, *, 3)$ (win estado para $B$)

Las probabilidades de transición se $\frac{1}{6}$ para el incremento de la $R$-valor, $\frac{2}{6}$ para el incremento de la $Y$-valor y $\frac{3}{6}$ para el incremento de la $B$-valor. La absorción de los estados se han auto-transición con una probabilidad de $1$.

La pregunta puede ser resuelto con la teoría de finito de absorción de las cadenas de Markov mediante la formación de la Matriz Fundamental y el cálculo de la matriz de Absorción de Probabilidades. Para referencia ver las Cadenas de Markov y la sección 11.2 en la absorción de las cadenas.

EDITAR:

La matriz de transición es (los estados indexadas en el orden dado)

$$\left[ \begin{array}{cccccc|ccc} 0 & \frac{2}{6}& \frac{2}{6} & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{6} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \frac{3}{6} & 0 & 0 & \frac{1}{6} & \frac{2}{6} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \frac{2}{6} & \frac{3}{6} & 0 & \frac{1}{6} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{3}{6} & \frac{1}{6} & \frac{2}{6} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{2}{6} & \frac{1}{6} & 0 & \frac{3}{6} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{6} & \frac{2}{6} & \frac{3}{6} \\ \hline \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right] $$

Los bloques se $Q$ en la parte superior izquierda, $R$ en la parte superior derecha. Calcular la matriz fundamental

$$N=(I-Q)^{-1}$$

Y, a continuación, las probabilidades de que la cadena ser absorbido a un particular estado de absorción están dadas por la matriz

$$B=NR.$$

La cadena inicia en el estado indexado $1$, por lo que la primera fila de $B$ le dará las probabilidades.

Calcular (con ordenador) que obtengo:

$$N = \frac{1}{12} \begin{pmatrix} 12 & 4 & 6 & 4 & 3 & 3 \\ 0 & 12 & 0 & 6 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 12 & 4 & 6 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 12 & 0 & 6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 12 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 12 \\ \end{pmatrix} $$

Y $$ R = \begin{pmatrix} \frac{1}{6} & 0 & 0 \\ \frac{1}{6} & \frac{2}{6} & 0 \\ \frac{1}{6} & 0 & 0 \\ \frac{1}{6} & \frac{2}{6} & 0 \\ \frac{1}{6} & 0 & \frac{3}{6} \\ \frac{1}{6} & \frac{2}{6} & \frac{3}{6} \\ \end{pmatrix} $$

Así que la primera fila de $B$ es

$$ \begin{pmatrix} \frac{4}{9} & \frac{11}{36} & \frac{1}{4} \end{pmatrix} $$

(EDIT2: he tenido $9$ en el denominador de antes, donde no debería ser $6$. Ahora es fijo).

1voto

PM 2Ring Puntos 1270

Aquí hay un gráfico de todas las posibles secuencias con sus probabilidades, creadas con un pequeño script de Python y GraphViz.

Secuencias RYB

Podemos determinar fácilmente las probabilidades ganadoras sumando los valores en los nodos terminales.

Por lo tanto, para que el rojo gane, obtenemos$\frac16 + \frac1{18} + \frac1{12} + 2\cdot\frac1{36} + \frac1{24} + 3\cdot \frac1{72} = \frac49 = \frac{16}{36}$

Para amarillo, obtenemos$\frac19 + 2\cdot \frac1{18} + 3\cdot \frac1{36} =\frac{11}{36}$

Para azul, obtenemos$\frac18 + 3\cdot \frac1{24} = \frac14 = \frac{9}{36}$

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