Integración con la función Cos en el denominador

Question

Necesito resolver la siguiente integración: $$\int_0^{\frac{\pi }{2}} \frac{1}{\left(a \cos ^2(x)+1\right)^m} \, dx$$ En Mathematica, la solución se da con $\text{Hypergeometric2F1}$ función. Sin embargo, quiero saber cómo derivar esto paso a paso. ¿Puede alguien guiarme, por favor?

Empecé aplicando la expansión binomial negativa, sin embargo sólo funciona cuando $a \cos ^2(x)<1$ . ¡¡¡Me pregunto que si hay alguna expresión general !!!

Answer 1

Así que, como sugiere @Kiryl Pesotski, tenemos que reescribir su integral en la forma $$_2 F_1(a,b;c;x) = \frac{\Gamma (c)}{\Gamma (b) \Gamma (c- b)} \int_0^1 \frac{t^{b - 1} (1 - t)^{c - b - 1}}{(1 - xt)^a} \, dt.\tag1$$

Para la convergencia, supondré que el $a$ que aparece en su integral es mayor que el negativo $(a > -1)$ .

Desde $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ comenzamos escribiendo la integral como $$I = \int_0^{\pi/2} \frac{dx}{(a + 1 - a \sin^2 x)^m} = \frac{1}{(a + 1)^m} \int_0^{\pi/2} \frac{dx}{\left (1 - \frac{a}{a + 1} \sin^2 x \right )^m}.$$ Configuración $t = \sin^2 x$ ya que $\cos x = \sqrt{1 - t}$ entonces $dx = dt/(2 \sqrt{t} \sqrt{1 - t})$ mientras que para los límites de la integración $(0,\pi/2) \mapsto (0,1)$ . Así, \begin {align*} I &= \frac {1}{2(a + 1)^m} \int_0 ^1 \frac {t^{-1/2} (1 - t)^{-1/2}}{ \left (1 - \frac {a}{a + 1} t \right )^m} \N, dt \\ &= \frac {1}{2 (a + 1)^m} \cdot \frac { \Gamma (1/2) \Gamma (1/2)}{ \Gamma (1)} \cdot \frac { \Gamma (1)}{ \Gamma (1/2) \Gamma (1/2)} \int_0 ^1 \frac {t^{1/2 - 1} (1 - t)^{1 - 1/2 - 1}}{ \left (1 - \frac {a}{a + 1} t \right )^m} \N - dt. \end {align*} Ahora la integral anterior está exactamente en la forma de (1) donde $a = m, b = 1/2, c = 1$ y $x = a/(a+1)$ . Así que en términos de la función hipergeométrica la integral con la que empezamos puede escribirse como $$\int_0^{\pi/2} \frac{dx}{(a \cos^2 x + 1)^m} = \frac{\pi}{2(a + 1)^m}\ _2 F_1 \left (m,\frac{1}{2};1; \frac{a}{a + 1} \right ).$$