¿Es estable la traza de productos de los operadores de Hilbert-Schmidt bajo permutaciones cíclicas?

Question

Se sabe que el producto de dos operadores hilbert-schmidt está en la clase Trace. También sabemos, que para un continuo, lineal $S$ y cualquier $T$ en la clase de rastreo, $\text{trace}(ST)=\text{trace}(TS)$ . Si tenemos dos operadores de Hilbert-Schmidt $H_{1}$ y $H_{2}$ hace $\text{trace}(H_{1}H_{2})=\text{trace}(H_{2}H_{1})$ ¿se mantiene necesariamente? ¿Qué ocurre con las trazas si elegimos dos operadores cualesquiera $A,B$ por lo que $AB$ y $BA$ (Si no me equivoco, eso debería ocurrir, por ejemplo, para los operadores que se encuentran en las clases Schatten-p para los índices conjugados).

Answer 1

Comienza con $H_i$ siendo autoadjunto. Sea $x_i$ sea un ONB y $p_i=x_i\otimes x_i^*$ la proyección ortogonal sobre el espacio abarcado por $x_i$ . Uno tiene $$( x_i, H_1 p_j H_2 x_i) = (x_i, H_1 x_j)\,(x_j,H_2,x_i)=(x_j, H_2x_i)(x_i,H_1x_j)=(x_j,H_2p_iH_1x_i).$$ Tenga en cuenta que $\sum_{i=0}^n p_i$ converge a $\Bbb 1$ en la topología del operador fuerte. De ello se desprende que $\sum_{i=0}^nH_1p_iH_2\to H_1H_2$ en esta topología y luego $(x,H_1H_2y)=\sum_i(x,H_1p_iH_2y)$ . Esto da: $$(x_i,H_1H_2x_i)=\sum_j(x_i, H_1p_jH_2x_i)=\sum_j (x_j, H_2p_iH_1x_j) = \mathrm{Tr}(H_2p_iH_1).$$ El rastro de $H_1H_2$ es la suma de ésta sobre todos los $i$ y la pregunta es si $$\mathrm{Tr}(H_1H_2)=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=0}^n \mathrm{Tr}(H_2 p_i H_1)\overset?=\mathrm{Tr}(H_2H_1)\tag{1}$$ sostiene. Para ello quiero demostrar que $\sum_i H_1p_i$ converge a $H_1$ en la norma de Hilbert-Schmidt, ya que la traza es el producto escalar de Hilbert-Schmidt $(1)$ a continuación.

$$\|\sum_{i=0}^n H_1p_i- H_1\|^2_{HS}=\sum_{i,j=0}^n\mathrm{Tr}(p_i H_1^*H_1p_j)+\mathrm{Tr}(H_1^*H_1)-\sum_{i=0}^n\mathrm{Tr}(H_1^*H_1p_i + p_iH_1^*H_1).$$

Aquí se evaluará el rastro en el ONB $x_i$ y si lo introducimos la expresión se simplifica a (usando $p_j x_i = \delta_{i,j}x_i$ ): $$\|\sum_{i=0}^n H_1p_i- H_1\|^2_{HS}=\sum_{i=0}^n (x_i, H_1^*H_1 x_i) +\sum_{i=0}^\infty (x_i, H_1^*H_1,x_i)-2\sum_{i=0}^n(x_i,H_1x_i).$$ Aquí recuperamos la igualdad en el límite y así $\mathrm{Tr}(H_1H_2)=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=0}^n\mathrm{Tr}(H_2p_iH_1)=\mathrm{Tr}(H_2H_1)$ para operadores Hilbert-Schmidt autoadjuntos. Dado que cualquier Hilbert-Schmidt es la combinación lineal de 2 Hilbert-Schmidt autoadjuntos, la afirmación general se deduce por linealidad de la traza.

Lo que se escribe aquí supone un espacio de Hilbert separable, pero funciona en espacios no separables sustituyendo cualquier índice contable por un índice de la cardinalidad adecuada. Las sumas tienen entonces sentido en el sentido de las redes.