Identificar

Question

Identificar$\mathbb{Z}[x]/(2x^2+1,2x-3)$.

Intenté esto: $$ \ mathbb {Z} [x] / (2x ^ 2 +1,2x-3) =: R \\ (2x ^ 2 +1,2x-3) =: I \\ \ because ( 2x ^ 2 +1) -x (2x-3) = 3x +1, \\ 2 (3x +1) -3 (2x-3) = 11 \\ \ por lo tanto I = (2x ^ 2 +1,2x- 3,11) \\ \ por lo tanto R \ cong \ mathbb {Z} _ {11} [x] / (2x ^ 2 +1,2x-3) \\ \ cong \ mathbb {Z} _ {11} [x ] / (x ^ 2 +6, x-7) \\ \ cong \ mathbb {Z} _ {11} $$

pero estoy totalmente inseguro Gracias por tu ayuda :)

Answer 1

Eso es bueno. Una forma de trabajar hacia atrás es mostrar que:

ps

Obtienes: $$ \begin{align}2x-3&=2(x-7)+11\cdot1\\ 2x^2+1&=2(x-7)(x+7)+11\cdot 9 \end {align} $$

Answer 2

$2x-3=0 \implies x=\frac 3 2$. Sustituyendo$\frac {11} 2=0$, por supuesto,$11=0$. Nuestro anillo se convierte en$\mathbb Z_{11}[\frac 3 2]$. Ahora tenemos que verificar que ya tengamos un elemento en$\mathbb Z_{11}$, de modo que multiplicándolo por$2$ se convierta en$3$:$$2y \equiv 3 (mod \hspace{0,2cm}11)$$ we multply by $ 6$ and we get $$y \equiv 18 \equiv 7(mod \hspace{0,2cm}11)$$ and we already have $ 7 \ in \ mathbb Z_ {11}$, thus $ \ mathbb Z_ {11} [\ frac 3 2] \ simeq \ mathbb Z_ {11} $.

De la misma manera podrías agregar las dos ecuaciones y obtener$x^2 + x - 1=0$ y obtener$\mathbb Z_{11}[\frac{-1+\sqrt5}{2} ]$. El inverso de$2$ ya está en$\mathbb Z_{11}$, es$6$, y las raíces cuadradas de$5$ son$(\pm 4)^2 \equiv 5$, así que de nuevo$\mathbb Z_{11}[\frac{-1+\sqrt5}{2} ] \simeq \mathbb Z_{11}$.