¿Cómo encontrar la integral indefinida?

Question

$$\int\frac{x^2}{\sqrt{2x-x^2}}dx$ $ Esto es lo más lejos que tengo:$$=\int\frac{x^2}{\sqrt{1-(x-1)^2}}dx$ $

Answer 1

Sugerencia : sustituir$$x-1= \sin t $$ so as $$\\ x-1= \sin t \\ x=\sin t +1\\ dx = \cos t\,dt \\ \int \frac { x^2 }{ \sqrt { 1-(x-1)^2 } } \, dx=\int \frac { \cos t (\sin t +1)^2 }{ \sqrt { 1-\sin^2{t} } } \, dt=\int (\sin t +1)^2 \, dt \\ $ $

Answer 2

Como $0<x<2,$

ps

establecer$$\dfrac{x^2}{\sqrt{2x-x^2}}=\dfrac{x^{3/2}}{\sqrt{2-x}}$

$x=2\sin^2t,x^{3/2}=\text{?}$ y$dx=\text{?}$

Answer 3

Insinuación:

Como $\dfrac{d(2x-x^2)}{dx}=2-2x$

ps

ps

Ahora usa$$\dfrac{x^2}{\sqrt{2x-x^2}}=\dfrac{x^2-2x+2x-2+2}{\sqrt{2x-x^2}}$ de esto

Answer 4

De acuerdo, entonces basándome en lo que dijo el laboratorio bhattacharjee :$$\int\frac{x^2}{\sqrt{2x-x^2}}dx$ $$$=-\int\sqrt{1-(x-1)^2}dx-\int\dfrac{2-2x}{\sqrt{2x-x^2}}dx+2\int\dfrac1{\sqrt{1-(x-1)^2}}dx$ $ Ok, entonces uso # 8 en la primera integral, u-sustitución en la 2da, y # 1 en la 3ra. $$=-(\frac{(x-1)\sqrt{1-(x-1)^2}}{2}+\frac{1}{2}\arcsin(x-1))-2\sqrt{2x-x^2}+2\arcsin(x-1)+C$ $ Simplificar. ps