¿Es el conjunto vacío un subconjunto de sí mismo?

Question

Lo siento, pero no creo que pueda saberlo, ya que es una definición. Por favor, dime. No creo que $0=\emptyset\,$, ya que distingo entre el conjunto vacío y el valor $0$. ¿Todos los conjuntos, incluso el conjunto vacío, tienen infinita vacuidad, es decir, todos los conjuntos, incluido el conjunto vacío, contienen infinitos conjuntos vacíos?

Answer 1

Solo hay un conjunto vacío. Es un subconjunto de cada conjunto, incluido él mismo. Cada conjunto lo incluye solo una vez como subconjunto, no un número infinito de veces.

Answer 2

Sean $A$ y $B$ conjuntos. Si cada elemento $a\in A$ también es un elemento de $B$, entonces $A\subseteq B$.

Dale la vuelta y obtienes

Si $A\not\subseteq B$, entonces existe algún elemento $x\in A$ tal que $x\notin B$.

Si $A$ es el conjunto vacío, no hay $x$s en $A$, por lo que en particular, no hay $x$s en $A$ que no estén en $B. Por lo tanto, $A\not\subseteq B$ no puede ser verdadero. Además, ten en cuenta que no hemos usado ninguna propiedad de $B$ en la línea anterior, por lo que esto se aplica a todos los conjuntos $B$, incluido $B=\emptyset$.

(Desde un punto de vista más amplio, puedes pensar en el conjunto vacío como el conjunto para el cual $x\in \emptyset\implies P$ es verdadero para cada enunciado $P$. Por ejemplo, cada $x$ en el conjunto vacío es naranja; también, ningún $x$ en el conjunto vacío es naranja. No hay contradicción en ninguno de estos enunciados porque no hay $x$ que puedan proporcionar contraejemplos.)

Answer 3

El conjunto vacío es subconjunto del conjunto vacío, ya que cada elemento del conjunto vacío es un elemento del conjunto vacío. Pero $0$ no está en el conjunto vacío.

$A \subseteq B$ cuando $x\in A \implies x\in B$. Como $x\in A \iff x\in A$ vemos que $A \subseteq A$ siempre es verdadero, cuando $A$ es un conjunto.

Un valor es un valor no un conjunto, a veces $0$ se define como el conjunto vacío pero entonces $0$ es el conjunto vacío y no el número.

Esto sucede, por ejemplo, en la teoría de categorías, ya que solo estás interesado en conjuntos abstractos, y todos los conjuntos del mismo cardinalidad son de alguna manera iguales, simplemente denominas a los conjuntos finitos por su cardinalidad.

Answer 4

Cualquier conjunto es un subconjunto de sí mismo. Sea $$A=\{x\,\vert\,\varphi(x)\}.$$ Como $$\varphi(x)\implies \varphi(x),$$ tenemos $$A\subseteq A.

Answer 5

Debido a la reflexividad de $\subseteq$, para todo conjunto $A$ es cierto que $A \subseteq A$. Para $A = \emptyset$ tenemos que $\emptyset \subseteq \emptyset$, por lo que el conjunto vacío es un subconjunto de sí mismo.