Asíntotas para una función

Question

$$f(x)=\frac{x^2-2ax}{x-a}$$ where $a$ es positivo.

La pregunta pide dar ecuaciones para las 2 asíntotas. El primero es obvio:$x=a$. La otra asíntota es$y=x-a$ pero no estoy seguro de cómo obtener esto.

Answer 1

Reescribe la función:$$f(x)=\frac{x^2-2ax}{x-a}=\frac{x^2-2ax+a^2-a^2}{x-a}=\frac{(x-a)^2-a^2}{x-a}=x-a-\frac{a^2}{x-a} Ahora las dos asíntotas mencionadas son obvias: una vertical ($x=a$) y una oblicua ($y=x-a$).

Answer 2

Recuerde que una asíntota oblicua está definida por

• $y=mx+n$ con $m,n\in \mathbb{R}$.

con

ps

y

ps

cuando ambos límites existen (en $$m=\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{f(x)}{x}$ y / o$$ n=\lim_{x\rightarrow \infty} (f(x)-mx)$).

En su caso, es fácil verificar que

ps

ps

Answer 3

Opción 1 ; realizando una división larga (polinomial), obtienes:$$\frac{x^2 - 2ax}{x - a} = \color{blue}{x-a}-\color{red}{\frac{a^2}{x-a}} con la asíntota en azul y el resto, que va a$0$ para$x\to \pm\infty$, en rojo.

Opción 2 ; use límites para encontrar la ecuación de la asíntota oblicua$y=\color{blue}{m}x+\color{red}{q}$, con:$$\color{blue}{m} = \lim_{x \to \pm \infty}\frac{f(x)}{x} \quad \mbox{and} \quad \color{red}{q} = \lim_{x \to \pm \infty}\bigl( f(x)-\color{blue}{m}x\bigr), siempre que existan ambos límites (que es el caso aquí:$1$ y$-a$, respectivamente).

Answer 4

use que$f(x)$ se puede escribir como$$f(x)=x-a-\frac{a^2}{x-a}