Demostrar que la inducida por el mapa de $φ : \mathfrak g → \mathfrak h$ es una Mentira álgebra isomorfismo.

Question

Deje $G$ $H$ ser la matriz de la Mentira de los grupos y $\mathfrak g$, $\mathfrak h$ ser sus álgebras de Lie. Supongamos que que $Φ : G → H$ es una Mentira grupo de isomorfismo. Demostrar que la inducida por el mapa $φ : \mathfrak g → \mathfrak h$ es una Mentira álgebra isomorfismo.

Soy un principiante en el álgebra de la Mentira y, a menudo confundido en la Mentira álgebra homomorphism por favor me ayude en mostrar o dar pasos como una sugerencia.

Answer 1

Una manera de demostrar que se trata de mostrar que el mapa de $\phi$ es mentira álgebra homomorphism y es surjective y bijective. Ahora es mentira álgebra homomorphism que parte estoy dejando hasta que usted. Usted puede comprobar por usted mismo o usted puede ver Brian C Hall del libro. Es que allí se indican.

Mostrando bijectiveness es un poco complicado. Ahora, en este contexto, el uso de una definición

Deje $A :\Bbb R \to \operatorname{GL}(n, \Bbb C)$. Llamamos a $A$ como un parámetro subgrupo de $\operatorname{GL}(n, \Bbb C)$ si $A$ es continua mentira grupo homomorphism yo.e $(A(0)=1, A(t+s)=A(t)A(s)$

y uno teorema:

Deje $A$ ser un parámetro subgrupo de $\operatorname{GL}(n, \Bbb C)$. A continuación, $\exists ! X \in \operatorname{M}(n, \Bbb C)$ s.t $A(t)=e^{tx}; \forall t \in \Bbb R$

Y este poderoso teorema dio a luz a este operador $\phi$ porque tomamos $A :\Bbb R \to \operatorname{GL}(n, \Bbb C)$ definido por $A(t)=\Phi(e^{tX})$. A continuación, el uso de ese teorema tenemos que $\phi: \mathfrak g \to \mathfrak h$ tal que $A(t)=\Phi(e^{tX})=e^{t\phi(X)}$

Ahora se da eso $\Phi$ es un grupo de isomorfismo, a continuación, considerando $\Phi^{-1}: H \to G$ $B(t): \Bbb R \to \operatorname{GL}(n, \Bbb C)$ s.t $B(t)=\Phi^{-1}(e^{tY})$ tenemos que $\exists \psi: \mathfrak h \to \mathfrak g$ s.t $B(t)=\Phi^{-1}(e^{tY})=e^{t\psi(Y)}$.

Ahora dicen que : $\psi=\phi^{-1}$

$\Phi(\Phi^{-1}(e^{tY}))=\Phi(e^{t\psi(Y)})=e^{t\phi(\psi(Y))}$

$\Rightarrow e^{tY}=e^{t\phi(\psi(Y))}$; Ahora la diferenciación de w.r.t $t$ y poner $t=0$ obtenemos $Y=\phi(\psi(Y))$.

Del mismo modo, teniendo en $\Phi^{-1}(\Phi(e^{tX}))=\Phi^{-1}(e^{t\phi(X)})=e^{t\psi(\phi(X))}$ obtenemos $Y=\psi(\phi(X))$.

Por eso, $\phi$ es una mentira álgebra automorphism. (Demostrado).