¿Cómo saber si un conjunto de observables conmutables es completo?

Question

Definimos un conjunto completo de observables conmutables como un conjunto de observables $\{A_1,\ldots, A_n\}$ tal que:

1. $\left[A_i, A_j\right]=0$ para cada $1\leq i,~j \leq n$ ;

2. Si $a_1,\ldots, a_n$ son valores propios de $A_1,\ldots, A_n$ respectivamente, existe un único estado $\psi$ tal que $A_i\psi=a_i\psi$ .

Me preguntaba si existe un teorema o procedimiento estándar para decir si un conjunto de observables es completo. En espacios dimensionales finitos parece bastante fácil, pero ¿cómo hacerlo en espacios dimensionales infinitos, en particular, cuando la degeneración es también infinita?

Algunas cuestiones prácticas:

1. Cómo probar $\{H,L^2,L_z\}$ es un conjunto completo, donde $L$ es el momento angular, $L_z$ es el $z$ -componente de dirección de $L$ y $H=\frac{1}{2m}\nabla^2-\frac{e^2}{r}$ ¿es el hamiltoniano?

2. Cómo probar $\{H,L_z\}$ es un conjunto completo en el caso de los niveles de Landau?

Answer 1

Está completo si hay sólo uno base de vectores propios comunes. Es decir, sólo hay una base en la que las matrices son matrices diagonales.

Empecemos con sólo 2: los operadores $A$ y $B$ . Si $[A,B]=0$ hay al menos una base ortonormal de vectores propios comunes.

Si los valores propios de $A$ no tienen degeneración, entonces la base es única (excepto para los factores de fase globales), y por lo tanto el conjunto es completa .

Si $A$ tiene valores propios degenerados, entonces forman subespacios (la matriz tiene casillas a lo largo de la diagonal). $B$ actúa en cada subespacio sin fusionarse con otros.

Dentro de cada subespacio, se puede encontrar una base de $B$ que hace sub-espacios (sub-casillas).

Si esos subespacios son más de una dimensión, entonces el sistema no está completo, pero hay un tercer observable conmutativo $C$ que puede hacer que las matrices sean diagonales.

Puede haber más de 1 CSCO con diferentes valores propios.

Para un determinado CSCO, los valores propios de todos los operadores especifican un único vector propio común.

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En cuanto a la cuestión práctica, puedes demostrarlo en el caso particular.

Pero se puede demostrar que cualquier configuración esféricamente simétrica satisface $[H,\vec{L}]=0$ , y por lo tanto hay $[H, L^2]=0, \ [H, L_z]=0$ .

Esto se debe a que cualquier sistema que sea invariante bajo rotaciones verifica que $H$ conmuta con rotaciones, y las rotaciones son una función de $\vec{L}$ Así que $[H, \vec{L}]=0$ . Es largo de probar, pero es un tema muy bonito.

Nota El concepto de invariante bajo rotaciones se refiere a que obtendrás el mismo resultado si a) Dejarla evolucionar en el tiempo y luego rotarla. b) Rotarlo primero y luego dejarlo evolucionar.

Answer 2

En general, si se sabe que un conjunto de números cuánticos es completo, se sabe que cualquier otro conjunto completo debe tener el mismo número de números cuánticos, lo cual es una forma práctica de comprobar los resultados. Además, el número de grados de libertad separables también se corresponde con el número de números cuánticos. En tu ejemplo, el electrón tiene 3 grados de libertad alrededor del átomo (4 con espín) por lo que 3 o 4 números cuánticos definen el sistema. En los niveles de Landau, sólo tiene 2 grados de libertad.

EDITAR: Tal vez este sea otro punto importante que merece la pena señalar: un conjunto de operadores conmutables es completo si representa el máximo número de operadores linealmente indepedientes y conmutables sobre el espacio. En general, esto es un hecho difícil de demostrar dado un conjunto de operadores candidatos.