En una definición rigurosa de Feynman de la integral funcional$.$

Question

A menudo se dice que no es matemáticamente rigurosa definición de Feynman de la integral funcional, excepto para algunos ejemplos específicos.

Puedo ser muy ingenuo, pero para mí no es, al menos, una posible definición, que es perfectamente riguroso en términos matemáticos. Para ponerlo simplemente, definir el $n$-función de punto de $$ G_n(x_1,\dots,x_n)\equiv\sum_{\text{gráficos}}F_\mathrm{EG}(x_1,\dots,x_n) $$ donde $F_\mathrm{EG}\colon\text{graphs}\to\mathbb C[[g]]$ es el valor de la gráfica en virtud de las reglas de Feynman de la teoría, calculado de acuerdo con el virus de Epstein-Glaser formalismo. Trabajamos en el anillo de poder formal de la serie en la constante de acoplamiento $g$, con coeficientes en, digamos, el espacio de las distribuciones más de $\mathbb R^d$.

Con esto, $G_n$ es perfectamente bien definido de distribución. Por consiguiente, se puede establecer $$ Z[j]\equiv \sum_{n\in\mathbb N}\int_{\mathbb R^{dn}}G_n(x_1,\dots,x_n)j(x_1)\cdots j(x_n)\ \mathrm dx_1\cdots\mathrm dx_n $$ donde $j\in C^\infty_c(\mathbb R^d)$, y la integración es entendida en el sentido de distrubutions.

En "términos físicos", $Z[j]$ corresponde a la norma funcional integral $$ Z[j]\equiv\int_{C'^\infty_c(\mathbb R^d)}\ \mathrm e^{-S[\varphi]+\varphi\cdot j}\ \mathrm d\varphi $$ pero considerado como un poder formal de la serie (en $g$$j$).

¿Por qué esta definición razonable? Parece que satisface algunas buenas propiedades (tales como el "teorema fundamental del cálculo", en la forma de Dyson-Schwinger), pero se puede ocultar algunos otros (como la linealidad). Está de acuerdo con el estándar de integración en la $d=0$ de los casos, y creo que también está de acuerdo con los casos donde la integral funcional está bien definido (libre de teorías, $d=1$, etc.). Sin embargo, nunca es mencionado en la referencia que he leído. ¿Hay alguna razón para no tomar en serio?

Answer 1

La definición que se está utilizando en tu pregunta es la que todo el mundo que hace riguroso perturbativa renormalization usos. La elección del método BPHZ vs virus de Epstein-Glaser, etc. no importa. Ambos dan la normaliza $n$-punto de correlación de funciones como la de poder formal de la serie en cualquiera de las $\hbar$ (un poco más canónica) o normaliza la constante de acoplamiento $g_{\rm R}$. Ahora el problema es que un instrumento de medición que generalmente se devuelve valores numéricos en lugar de elementos de $\mathbb{R}[[g]]$. Por otra parte, quantum probabilidades de transición debe ser positivo. ¿Cómo podría expresar unitarity para un QFT si todo lo que tengo son de poder formal de la serie? Es deseable tener una rigurosa construcción de la $G(x_1,\ldots,x_n)$ honesto distribuciones en lugar de poder formal de la serie con la distribución de los coeficientes. Este es el trabajo constructivo de la teoría cuántica de campos.

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Editar como por la POPA del comentario: creo que no es fácil definir la positividad para poder formal de la serie, por ejemplo, mediante la imposición de su pedido por pedido. Aunque debo decir que no me creo mucho sobre el tema, por lo que algunos podrían tener una mejor idea acerca de ello. Si miro el poder formal de la serie $$ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-\manejadores)^n}{n!}\ \en\ \mathbb{R}[[\manejadores]]\ , $$ Realmente no puedo decir que es positivo, a menos que se me suma a $e^{-\hbar}$. Este es, quizás, ni siquiera un buen ejemplo, ya que al menos esta serie converge. La serie de perturbaciones en QFT se espera tener cero radio de convergencia y el término general salvajemente oscila en signo y magnitud. Un mejor ejemplo es cero-dimensional $\phi^4$ teoría: $$ Z(g)=\int_{\mathbb{R}} e^{-\phi^2-g\phi^4} d\phi $$ que está perfectamente bien definido y no negativo para $g\ge 0$. La serie correspondiente en $\mathbb{R}[[g]]$ es $$ \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-g)^n}{n!}\int_{\mathbb{R}} \phi^{4n}e^{-\phi^2} d\phi =\sum_{n=0}^{\infty} (-g)^n\ \frac{\Gamma\left(2n+\frac{1}{2}\right)}{\Gamma(n+1)}\ . $$ Por otra parte, ¿qué sería de una media por la positividad? : P1) positividad para todos los valores del parámetro $g$ o $\hbar$, P2) positividad para un valor específico como $\hbar=1.05457\times 10^{-34}$, o P3) positividad para valores pequeños? Para P1, la imposición de la positividad de la orden por el orden, por ejemplo, truncando la serie en algún $n$ es muy malo. Para $n$ impar, se tiene un polinomio de grado impar que va a tomar valores negativos. Creo que P1 y P2, que requieren de una suma procedimiento, es decir, ir de $\mathbb{R}[[g]]$$\mathbb{R}$. Se podría definir P3 como sólo la positividad de la cero-ésimo orden plazo, pero esto parece demasiado gruesa.

Por último, señalar que ha habido un trabajo reciente sobre la violación de unitarity en QFTs en que no son enteros de dimensión (ver este artículo). No me fijé en él, pero sospecho que debe haber abordado esta positividad problema de alguna manera.