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Question

Sabemos que un número complejo, escrito como $c=(a,b)$, puede ser expresado con la ayuda de una matriz como $$\begin{bmatrix}a & -b\\ b & a\end{bmatrix}$$ y operaciones en tales matrices se asemejan a las operaciones sobre los números complejos.

Sin embargo, con $2 \times 2$ matrices podríamos imaginar una definición de otro tipo de "número" $x=(a,b)$, por ejemplo, $$(a,b) \longleftrightarrow \begin{bmatrix}a & b\\b & a\end{bmatrix}.$$

Aquí las operaciones están bastante bien definidos - la multiplicación y la suma son conmutativas - la única diferencia a los números complejos parece es que no todos los números tienen sus inversas, por ejemplo, para $(a,a)$ o $(a,-a)$, es difícil decir cuál es su inversa.

¿Por qué no usar esos "números"? Son los números? Cuándo podemos decir que una determinada matriz representa el número?

Lo mismo es cierto para $ 4 \times 4$ matrices ... parece sólo una manera de definir el número conocido como cuaterniones - ha encontrado su camino en los números de mundo... (aunque el número de formas posibles para la construcción de matrices con $4$ valores cuando cada valor se repite en la matriz $4$ veces es mucho mayor).

Answer 1

Hasta cierto punto esto es una cuestión de la teoría de la representación. Así que hacer uso de estas cosas.

Por ejemplo, supongamos que usted desea extender el campo de los números racionales para incluir alguna extraña número $\xi$ que satisface $\xi^2 - N = 0$. Puede representar la multiplicación por un número $a+b\xi$ con la matriz de 2x2 $\pmatrix{a & Nb \\ b & a}$. Entonces el tuyo es simplemente un caso especial de $N = -1$, lo que (si los elementos subyacentes $a$$b$$\mathbb{R}$) es una forma de representar los números complejos. Si $N = 0$, luego tenemos el doble de los números, y si $N=1$, luego tenemos los de split-números complejos.

Tenga en cuenta que las extensiones de como esto puede causar problemas y podemos perder las propiedades de campo, por ejemplo, no hay manera de dividir un número real por una pura doble número desde la eliminación de la doble desde el denominador constituye una división por cero. Así que siempre verifique que las reglas básicas de la aritmética se conservan, o si necesitamos más restricciones. Sólo porque perdemos propiedades de campo no significa que la estructura algebraica no es interesante o útil.

Este tipo de extensión puede continuar. Si su campo subyacente es $\mathbb{Q}$ y amplíe para incluir a $\xi_N$ (como arriba) y, a continuación, desea extender de nuevo para incluir otro $\xi_M$, entonces usted tiene una representación de la matriz de 4x4.

Answer 2

Para poner en práctica lo que has hecho en el contexto algebraico: se ha identificado un subconjunto de un anillo de matrices de 2x2 (con el número real de entradas supongo, ya que esas son el tipo que se utilizan para representar los números complejos) y mostró que dentro de este subconjunto, la multiplicación es conmutativa, y el subconjunto es cerrado bajo la suma y la multiplicación, por lo que es un sub-anillo conmutativo. En el quid de la respuesta a este interrogante, el quid muestra que su sub-anillo es isomorfo al producto directo de dos copias de $\mathbb{R}$. Me refiero no a la prueba algebraica: te voy a mostrar por su ejemplo de una manera más concreta.

Asociado a cada matriz $\begin{bmatrix} a & b \\ b & a \end{bmatrix}$ el par $(a+b,a-b)$. Es claro que, por el contrario, con un par, usted puede recuperar la matriz. Vamos a ver cómo la matriz de la adición y la multiplicación afectan a la par. $$\begin{bmatrix} a & b \\ b & a \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} a' & b' \\ b' & a' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a+a' & b+b' \\ b+b' & a+a' \end{bmatrix}$$, so $$(a+b,a-b)+(a'+b',a'-b') = (a+a'+b+b',a+a'-b-b')$$. And $$\begin{bmatrix} a & b \\ b & a \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} a' & b' \\ b' & a' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} aa'+bb' & ab'+ba' \\ ab'+ba' & aa'+bb'' \end{bmatrix}$$, so $$(a+b,a-b)\cdot(a'+b',a'-b') = (aa'+bb'+ab'+ba',aa'+bb'-ab'-ba')= ((a+b)(a'+b'),(a-b)(a'-b'))$$. Tenga en cuenta que la matriz de la adición y la multiplicación de las matrices de inducir a regular la suma y la multiplicación en los pares, se realiza de forma independiente en la primera y segunda entradas.

Así que resulta que estos "números" son equivalentes a los pares de números en los que la suma y la multiplicación se realiza por separado.

Answer 3

El punto es que queremos tener un campo. Al menos, esto es lo que se sugiere aquí, al hablar de "números". Ahora en general, subalgebras de $M_2(K)$ no se necesita ser un campo. En el primer caso, sin embargo, se obtiene un campo, sea necesaria en el campo de los números complejos $\mathbb{C}$ . En el segundo ejemplo, no obtenemos un campo. Para un campo $(K,+,\cdot)$, tenemos que $(K,+)$ $(K^*,\cdot)$ son tanto abelian grupos. Este no es el caso aquí.

Answer 4

La representación de la matriz de los números complejos demuestra que existe un isomorfismo entre los números complejos y que determinado subconjunto de matrices en $\mathbb R^{2 \times 2}$.

El punto es, que comenzó con los números complejos y, a continuación, buscó una representación de la matriz.

No quiero obtener todos Zen en usted***, pero ¿qué es un número?

Los números enteros, número entero, números naturales, números reales, números complejos, cuaterniones, y así sucesivamente, todos tienen diferentes propiedades. Sin embargo, llamamos a todos los números.

¿Qué acerca de las formas diferenciales? ¿Qué acerca de la $m \times n$ matrices de números reales? Lo que sobre el conjunto de todas las permutaciones del conjunto $\{1,2,3 \dots \}$? Son los números?

Te pregunto, ya que existe un subconjunto particular de $\mathbb R^{2 \times 2}$ que se comporta exactamente igual que el campo de los números complejos, puede que el proceso se dio la vuelta para crear nuevos $\text{$`$numbers$"$}$?

Seguro que se puede. Supongo que usted debe esperar al menos para algún tipo de cierre a pasar, pero todo lo demás es sólo una cuestión de lo que puede descubrir a ser verdad y decidir que es importante.

La gran pregunta es, al mostrar lo que han descubierto para el resto del mundo, se llaman números demasiado? Es decir, ¿qué es un número?

*** Cada vez que alguien dice "no quiero...", ellos quieren.

Answer 5

No sé si estoy totalmente de entender tu pregunta, pero voy a darle una oportunidad. La razón por la que podemos representar un número complejo $a+bi$ $$\begin{bmatrix}a&-b\\b&a\end{bmatrix}=a\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}+b\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}$$ is because they behave the same way. For instance $$\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}^2=(-1)\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}$$ behaves just like $i$, since $i^2=-1$.

También puede hacer esto con los números reales mediante la identificación de $a\in\mathbb{R}$ con la matriz$$\begin{bmatrix}a&0\\0&a\end{bmatrix}=a\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}$$, pero el punto crucial es que los "números" y las "matrices" que se comportan de la misma manera (esto se denomina isomorfismo).