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Question

Supongamos que tengo dos funciones $$f(x)=1-x^2$$ $$g(x)=\frac{x}{2}$$ y el número de $1$. Si se me permite componer estas funciones tantas veces como yo quiera y en cualquier orden, lo que los números puedo llegar si tengo que tomar las $1$ como la entrada? Por ejemplo, puedo obtener el $15/16$ mediante el uso de $$(f\circ g\circ g)(1)=\frac{15}{16}$$ Es obvio que todos pueden obtener los números están en el conjunto $\mathbb Q\cap [0,1]$, pero algunos números en este juego son que no se pueden obtener, como $5/8$ (que puede ser fácilmente verificado).

Alguien puede identificar un conjunto de todos los obtenible números, o al menos una mejor restricción de $\mathbb Q\cap[0,1]$? O, tal vez, un muy general de la clase de números que se pueden obtener?

Answer 1

He aquí una ordenados de la trama de todos los valores distintos de las composiciones de hasta 22 funciones elementales f y g:

Mathematica código:

f[x_] := 1 - x^2;
g[x_] := x/2;
DeleteDuplicates[
  Sort[
         (Apply[Composition, #][x] /. x -> 1/2) & /@ 
         Flatten[Table[Tuples[{f, g}, i], {i, 22}], 1]]]

ListPlot[%]

Este gráfico confirma el hecho obvio de que el valor nunca puede ser mayor que $1$ y que existe una brecha entre el$1/2$$3/4$.

Answer 2

Por ahora, nos hemos dado cuenta de que todo el tbo. los números tienen una expresión como fracción irreductible que es$\frac n{2^k}$, $n$ obviamente $odd$ (excepto el cero). Todos ellos pertenecen al intervalo de $[0,1]$ y ninguno pertenece a $(0.5,0.75)$.

He visto que es fácil enumerar todos ellos, empezando por $0$$1$, entonces el único con $k=1$, luego los de los con $k=2$, y así.

Y si $k$ es impar, entonces la última función a aplicar tiene que ser $g(x)$, y así la posible numeradores al $k$ es impar son los mismos disponibles para $k-1$.

Ahora, si $k$ es incluso, no sólo de los mismos numeradores disponibles para $k-1$ son todavía posibles (y que estarán ahí para siempre), pero los que aparecen por haber aplicado $f(x)$; estos tienen que venir desde el tbo. los números con denominador $2^{k/2}$. Estos numeradores se $2^k-n^2$ donde $n$ stands para cada posible numerador de la tbo. las fracciones con denominador $2^{k/2}$.

Suponiendo que estos dos grupos de los numeradores no tienen un elemento en común, podemos decir que el número de tbo. las fracciones con un $2^k$ en el denominador (cuando se expresa como irreductible), decir $N_k$ es $$N_{k-1} \quad \text{if $k$ is odd and $k>1$}$$ $$N_{k-1}+N_{k/2} \quad \text{if $k$ is even and $k>2$}.$$

He escrito todo el tbo. números hasta $k=10$:

$$0$$ $$\color{#C00}{1}$$ $$\frac12$$ $$\frac14 \quad\frac{\color{#C00}{3}}4$$ $$\frac18 \quad \frac38$$ $$\frac1{16}\quad \frac3{16}\quad \frac{\color{#C00}{7}}{16}\quad\frac{\color{#C00}{15}}{16}$$ $$\frac1{32}\quad\frac3{32}\quad\frac7{32}\quad\frac{15}{32}$$ $$\frac1{64}\quad\frac3{64}\quad\frac7{64}\quad\frac{15}{64}\quad\frac{\color{#C00}{55}}{64}\quad\frac{\color{#C00}{63}}{64}$$ $$\frac1{128}\quad\frac3{128}\quad\frac7{128}\quad\frac{15}{128}\quad\frac{55}{128}\quad\frac{63}{128}$$ $$\frac1{256}\quad\frac3{256}\quad\frac7{256}\quad\frac{15}{256}\quad\frac{\color{#C00}{31}}{256}\quad\frac{55}{256}\quad\frac{63}{256}\quad\frac{\color{#C00}{207}}{256}\quad\frac{\color{#C00}{247}}{256}\quad\frac{\color{#C00}{255}}{256}$$ $$\frac1{512}\quad\frac3{512}\quad\frac7{512}\quad\frac{15}{512}\quad\frac{31}{512}\quad\frac{55}{512}\quad\frac{63}{512}\quad\frac{207}{512}\quad\frac{247}{512}\quad\frac{255}{512}$$ $$\tfrac1{1024}\quad\tfrac3{1024}\quad\tfrac7{1024}\quad\tfrac{15}{1024}\quad\tfrac{31}{1024}\quad\tfrac{55}{1024}\quad\tfrac{63}{1024}\quad\tfrac{207}{1024}\quad\tfrac{247}{1024}\quad\tfrac{255}{1024}\quad\tfrac{\color{#C00}{799}}{1024}\quad\tfrac{\color{#C00}{975}}{1024}\quad\tfrac{\color{#C00}{1015}}{1024}\quad\tfrac{\color{#C00}{1023}}{1024}.$$ $$$$

Se puede observar que la última, incluso, $k$ para que los números obtenidos a partir de $k-1$ $k/2$ de la mezcla es de $k=8$ (pero de todos modos, no hay coincidencias). Para $k=10$ ambos grupos están lejos el uno del otro. No es difícil demostrar que 'superposición' sólo puede suceder por $k$ un múltiplo de $4$. No está claro si hay coincidencias para mayor $k$ (me inclino a creer que no hay, pero voy a tener que usar algo más que mi intuición).

Supongo que es todo lo que tengo por ahora. No es gran cosa, pero podría ayudar a comprender la estructura del conjunto. Y también es interesante saber que no es un simple (y recurrente), el procedimiento para comprobar si un número es tbo. o no.