Curvatura de Riemann/Ricci para n-esfera redonda

Question

¿Cuál es la mejor manera de ver que el escalar de Ricci curvatura de $(S^n(r),g_{round})$ es una constante $n(n-1)/r^2$ ? Me esencialmente sólo ver este valor indicado en la literatura, pero no de cálculo asociados con ella, así que supongo que es un cálculo simple. Pero...

Sigo haciendo el cálculo, y se consigue sucio... No estoy seguro de la mejor base para ver la ronda de métrica, y si para ir directamente a través de la definición de Riemann/curvatura de Ricci o simplemente el uso de la sección transversal de la curvatura. Así, en particular, ¿cuál es la mejor manera de ver que el corte/la curvatura de Riemann es $1/r^2$ ?

Answer 1

Hay una manera convincente para ver esta utilizando la ecuación de Gauss. Consideremos la esfera de $S^n \subset \mathbb R^{n+1}$. Elija un punto de $p \in S^n$, y una base ortonormales $\{e_i\}$ $T_pS^n$ en la que la segunda forma fundamental es diagonalized, así $$D_{e_i}\nu = \lambda_ie_i,$$ where $\nu$ is the normal vector ($\nu$ is the position vector in this case) and $D_{e_i}$ is the usual directional derivative in $\mathbb R^n$. Then the Gauss equation reads $$\mathrm{sec_{\mathbb R^{n+1}}}(e_i,e_j) = \mathrm{sec_{S^n}}(e_i,e_j) - \lambda_i\lambda_j.$$ On the other hand it is easy to calculate that $$2\mathrm{Hess}r = \frac{2}{r} g_r,$$ where $g_r = r^2ds^2_{n}$ and $g = dr^2 + g_r$ is the Euclidean metric on $\mathbb R^{n+1}$ written in spherical coordinates. Here $ds^2_{n}$ is the round metric on $S^{n}$. Thus $\lambda_i = \frac{1}{r}$ and since $\mathrm{sec_{\mathbb R^n}(e_i,e_j)} = 0$ it follows that $$\mathrm{sec_{S^n}}(e_i,e_j)= \frac{1}{r^2}.$$

Observación: Este método se puede encontrar en el Capítulo 3 de Peter Petersen gran libro "Geometría de Riemann."

Answer 2

No estoy seguro de que esta es la mejor manera, pero me parece fácil: Calcular los símbolos de Christoffel y sus derivados en el polo norte $(0,...,0,r)$. A continuación, utilizando la fórmula, podemos encontrar la de Riemann tensor de curvatura, y por lo tanto de la sección transversal, y la curvatura de Ricci de curvatura en el polo norte $(0,...,0,r)$. Dado que el cálculo se hace en el polo norte $(0,...,0,r)$, simplifica mucho las cosas.

Ahora, tenga en cuenta que $(S^n(r),g_{round})$ es homogéneo, es decir, para cualesquiera dos puntos a$p, q$$S^n(r)$, existe una isometría $\sigma$ tal que $\sigma(p)=q$. Así que cada punto en $(S^n(r))$ tiene la misma curvatura de Riemann tensor, y por lo tanto de la sección transversal, y la curvatura de Ricci curvatura como el polo norte.