Probar

Question

Prueba $a^{2}(1+b^{2})+b^{2}(1+c^{2})+c^{2}(1+a^2)\geq 6abc$

Mi intento:

$a^{2}(1+b^{2})+b^{2}(1+c^{2})+c^{2}(1+a^2)-6abc\geq 0$

$\implies a^{2}+a^{2}b^{2}+b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}+c^{2}a^{2}-2abc-2abc-2abc\geq 0$

$\implies (a-bc)^{2}+(b-ac)^{2}+(c-ab)^{2}\geq 0$

Cada uno de estos términos debe ser no negativo, por lo tanto la suma es también no negativos.

Soy nuevo en escribir las pruebas, así que no sé si esta prueba está muy bien.

Answer 1

Alternativamente por $AM \ge GM$,

\begin{align} a^2(1+b^2)+b^2(1+c^2)+c^2(1+a^2) &= a^2+b^2+c^2+a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2 \ & \ge 6\sqrt[6]{a^6b^6c^6} \ \end{align}

Answer 2

La idea detrás de la prueba está bien, excepto por el hecho de que su $\implies$ debería ser más bien $\iff$ para que sea suficiente.

Lo que es más, no es (formalmente) correcta de escribir $\implies$ signos, uno tras otro, desde el $\implies$ no es asociativa ($(A\implies B) \implies C $ es diferente de $A\implies (B \implies C)$, y ambos son diferentes de lo que parecen significar por $A\implies B \implies C$).

Esta es una de las razones por las que siempre es mejor usar palabras en lugar de notaciones matemáticas cuando se trata de reasonning, con el fin de evitar la confusión, y simplemente porque él (ojalá) requiere menos esfuerzo que leer, ya que hace que su prueba mucho más suave.